Topologischer Raum

Genauigkeit bezieht sich auf die Nähe eines gemessenen Wertes zu einem Standard oder einem bekannten wahren Wert. Präzision bezieht sich darauf, wie nahe zwei oder mehr Messungen beieinander liegen. Ein Messsystem kann präzise, aber nicht genau, genau, aber nicht genau, weder noch oder beides sein. Diese beiden Begriffe sind in der Messtheorie unabhängig voneinander.

Die Riemannsche Geometrie ist der Zweig der Differentialgeometrie, der sich mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten befasst – glatten Mannigfaltigkeiten mit einer Riemannschen Metrik. Diese Metrik ist eine Sammlung von inneren Produkten auf den Tangentialräumen, die von Punkt zu Punkt gleichmäßig variieren. Sie ermöglicht die Definition lokaler geometrischer Begriffe wie Winkel, Kurvenlänge, Oberfläche und Volumen, was zu einem verallgemeinerten Krümmungsbegriff führt.

Ein Homöomorphismus ist eine stetige Funktion zwischen zwei topologischen Räumen, die eine stetige Umkehrfunktion hat. Zwei topologische Räume werden als homöomorph bezeichnet, wenn eine solche Funktion existiert. Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch. Hinter diesem Begriff verbirgt sich die Vorstellung, dass ein Objekt in ein anderes gestreckt, gebogen oder verformt werden kann, ohne zu zerreißen oder zu verkleben, wie ein Kaffeebecher in einen Donut.

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein leistungsstarkes numerisches Verfahren zur Lösung komplexer technischer und physikalischer Probleme, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Dabei wird ein kontinuierlicher Bereich in kleinere, einfachere Unterbereiche, sogenannte „Finite Elemente“, diskretisiert. Dies ermöglicht die approximative numerische Lösung von Problemen der Strukturanalyse, der Wärmeübertragung, der Strömungslehre und des Elektromagnetismus.

Die Verifizierungstechniken werden allgemein als statisch oder dynamisch klassifiziert. Bei der statischen Überprüfung (oder statischen Analyse) wird der Code oder das Design des Systems untersucht, ohne es auszuführen. Beispiele hierfür sind Code-Reviews, Inspektionen und automatische statische Analysetools. Bei der dynamischen Überprüfung (oder dem Testen) wird das System mit einer Reihe von Eingaben ausgeführt und sein Verhalten beobachtet, um Fehler zu finden. Beide Verfahren ergänzen sich für eine umfassende Qualitätssicherung.

Verifizierung und Validierung (V&V) sind zwei unterschiedliche Prozesse. Die Verifizierung stellt sicher, dass ein Produkt die spezifizierten Anforderungen erfüllt ("Bauen Sie es richtig?"). Die Validierung stellt sicher, dass das Produkt den tatsächlichen Bedürfnissen und der beabsichtigten Verwendung des Benutzers entspricht ("Bauen Sie das richtige Produkt?"). Es handelt sich um sich ergänzende Aktivitäten im Rahmen des Qualitätsmanagements, die oft nacheinander oder parallel durchgeführt werden, um sowohl die Korrektheit als auch die Nützlichkeit zu gewährleisten.

Die Gesetze von De Morgan sind zwei Transformationsregeln der Booleschen Algebra, die für die Entwicklung digitaler Schaltungen von grundlegender Bedeutung sind. Das erste Gesetz besagt, dass die Negation einer Konjunktion die Disjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. Die zweite besagt, dass die Negation einer Disjunktion die Konjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum lokal ähnlich ist und die Anwendung der Infinitesimalrechnung ermöglicht. Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von [latex]\mathbb{R}^n[/latex] ist. Diese lokalen Koordinatensysteme, Diagramme genannt, sind durch glatte Übergangsfunktionen miteinander verbunden und bilden einen Atlas, der die differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit definiert.

Die digitale Elektronik basiert auf der Booleschen Algebra, einem von George Boole eingeführten mathematischen System der Logik. Sie verwendet zwei Werte, in der Regel 0 und 1 (oder falsch und wahr), und drei Grundoperationen: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion) und NICHT (Negation). Diese Operationen entsprechen direkt den Logikgattern, die die Bausteine aller digitalen Schaltungen bilden.

Dieses Theorem besagt, dass es für jede stetige Funktion [latex]f[/latex], die eine kompakte konvexe Menge auf sich selbst abbildet, einen Punkt [latex]x_0[/latex] gibt, für den gilt: [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Diesen Punkt nennt man einen Fixpunkt. Nimmt man eine Landkarte eines Landes, zerknüllt sie und platziert sie innerhalb der Landesgrenzen, so gibt es immer mindestens einen Punkt auf der Karte, der direkt über dem entsprechenden realen Punkt liegt.

Die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL) ist ein notwendiges Stabilitätskriterium für numerische Lösungen von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen mit expliziten Zeitintegrationsverfahren. Sie besagt, dass die Zeitschrittweite so klein sein muss, dass die Information nicht weiter als eine räumliche Gitterzelle pro Zeitschritt wandert. Für einen 1D-Fall ist [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex], was die numerische Stabilität gewährleistet.

Die Zuverlässigkeitsfunktion R(t) definiert die Wahrscheinlichkeit, dass ein System oder ein Bauteil seine geforderte Funktion für eine bestimmte Zeit "t" ohne Ausfall erfüllt. Für Systeme mit einer konstanten Ausfallrate (λ) wird sie durch die Exponentialverteilung beschrieben: [latex]R(t) = e^{-\lambda t}[/latex]. Diese Funktion ist grundlegend für die Vorhersage der Langlebigkeit und Leistung eines Produkts.

Die Finite-Volumen-Methode (FVM) ist ein gängiges numerisches Verfahren in der CFD zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Dabei wird der Definitionsbereich in ein Netz von Kontrollvolumina diskretisiert und die zugrundeliegenden Gleichungen in ihrer Integralform auf jedes Volumen angewendet. Durch die Umwandlung von Volumenintegralen in Oberflächenintegrale mithilfe des Divergenztheorems konzentriert sich die Methode auf die Berechnung des Flusses konservierter Eigenschaften über Zellflächen.

Unter formaler Verifikation versteht man den Einsatz mathematischer Methoden, um die Korrektheit des Entwurfs eines Systems in Bezug auf eine formale Spezifikation zu beweisen oder zu widerlegen. Im Gegensatz zum Testen, das nur das Vorhandensein von Fehlern für bestimmte Eingaben nachweisen kann, kann die formale Verifikation das Fehlen von Fehlern für alle möglichen Eingaben beweisen. Sie umfasst die Erstellung eines formalen Modells des Systems und die Anwendung von Techniken wie Model Checking oder Theorem Proving.