黎曼几何

Theorema Egregium（拉丁语，意为 "显著定理"）指出，曲面的高斯曲率是一种固有属性。这意味着它只取决于如何测量曲面本身的距离，而不取决于曲面如何嵌入三维空间。一张平纸在不拉伸的情况下可以卷成圆柱体，但不能卷成球体。

高斯-波奈定理将紧凑二维曲面的几何与拓扑联系起来。它指出，整个曲面 [latex]M[/latex] 上的高斯曲率积分 [latex]K[/latex] 等于曲面的欧拉特性 [latex]2\pi[/latex] 乘以欧拉特性 [latex]/chi(M)[/latex]。公式为 [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

准确度是指测量值与标准值或已知真实值的接近程度。精确度是指两个或多个测量值相互之间的接近程度。一个测量系统可以是精确但不准确，准确但不精确，两者都不是，或两者兼而有之。在测量理论中，这两个概念是相互独立的。

同构是两个拓扑空间之间的连续函数，它有一个连续的反函数。如果存在这样的函数，两个拓扑空间就被称为同构。从拓扑学的角度来看，同构空间是相同的。这一概念体现了这样一种思想，即一个物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体，而不会撕裂或粘连，就像一个咖啡杯可以变成一个甜甜圈。

A statistic indicating the goodness of fit of a model, representing the proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s). An R² of 1 indicates a perfect fit, while 0 indicates no linear relationship. It is calculated as [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], where [latex]SS_{res}[/latex] is the residual sum of squares.

拓扑空间是有序对 [latex]（X，\tau）[/latex]，其中 [latex]X[/latex] 是一个集合，[latex]\tau[/latex] 是 [latex]X[/latex] 的子集集合，称为开集，满足三个公理：1）空集 [latex]\emptyset[/latex] 和 [latex]X[/latex] 本身都在 [latex]\tau[/latex] 中。2) [latex]\tau[/latex] 中任意多个集合的联合也在 [latex]\tau[/latex] 中。3）[latex]\tau[/latex] 中任意有限个集合的交集也在 [latex]\tau[/latex] 中。

描述热分布或其他扩散过程的基本二阶线性抛物线偏微分方程。其典型形式为 [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 为温度，[latex]t[/latex] 为时间，[latex]\alpha[/latex] 为热扩散率。解法模拟了初始温度分布的演变过程，随着时间的推移，不规则的温度分布逐渐平滑并接近稳定状态。

线性偏微分算子 [latex]L[/latex] 的基本解是方程 [latex]Lu = delta(x)[/latex] 的解，其中 [latex]delta(x)[/latex] 是 Dirac delta 函数。它表示系统对点源或脉冲的响应。一旦知道了非均相方程 [latex]Lu = f(x)[/latex] 的解，就可以通过卷积求得：[latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], 其中 [latex]G[/latex] 为基本解。

德摩根定律是布尔代数中的一对变换规则，是数字电路设计的基础。第一条定律指出，连合的否定是否定的析取：[latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex].第二种说法是，析取的否定是否定的合取：[latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

可微分流形是一个局部类似于欧几里得空间的拓扑空间，允许微积分的应用。每个点都有一个与 [latex]\mathbb{R}^n[/latex] 的开放子集同构的邻域。这些局部坐标系被称为图，它们通过平稳过渡函数相互关联，形成了定义流形可微分结构的图集。

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。

The Prime Number Theorem describes the asymptotic distribution of prime numbers among the integers. It states that the prime-counting function [latex]\pi(x)[/latex], which gives the number of primes less than or equal to [latex]x[/latex], is asymptotically equivalent to [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formally, [latex]\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. This provides a fundamental link between primes and the natural logarithm.

该定理指出，对于映射紧凑凸集到自身的任何连续函数 [latex]f[/latex]，存在一个点 [latex]x_0[/latex]，使得 [latex]f(x_0) = x_0[/latex]。这个点称为定点。非正式地讲，如果把一个国家的地图揉成一团，然后放在这个国家的边界内，那么地图上总会有至少一个点在其对应的现实世界位置的正上方。

Analysis of Variance (ANOVA) is a statistical method that partitions the total observed variability in a data set into components attributable to different sources. The core idea is to compare the variance between the means of different groups to the variance within those groups. If the between-group variance is significantly larger, it suggests the group means are genuinely different.