数学归纳法证明

√2是一个无理数，这意味着它无法表示为两个整数的比值 [latex]p/q[/latex]。 经典证明（常被归功于毕达哥拉斯学派）采用反证法：假设√2 = p/q（已化为最简形式），由此可推得p与q均为偶数，这与初始假设相矛盾。.

托勒密定理为三角学中的和差公式提供了优雅的几何证明。通过将四边形内接于圆（其中一条边作为直径），其边长可表示为内接角的正弦与余弦值。 应用该定理[latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex]可直接得出恒等式如[latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex]。.

笛卡尔坐标系为欧几里得几何提供了代数模型。它使用一个或多个数字（或坐标）来唯一地确定空间中点的位置。在平面上，使用两条垂直线（x轴和y轴），从而可以用代数方程来描述几何形状。这种代数与几何的融合被称为解析几何。

二阶线性双曲偏微分方程，用于控制各种波的传播。最简单的形式是 [latex]\frac\{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 是波的振幅，[latex]c[/latex] 是波速，[latex]\nabla^2[/latex] 是拉普拉斯算子。它是振动弦、声波和光波等现象的模型。

欧拉特性是一个拓扑不变量，是一个描述拓扑空间结构或形状的数字，与空间的弯曲方式无关。对于多面体，它由公式 [latex]\chi = V - E + F[/latex] 定义，其中 V、E 和 F 分别是顶点、边和面的数量。对于球面，[latex]\chi = 2[/latex]，而对于环面，[latex]\chi = 0[/latex]。

这是几何概率中最早的问题之一，被认为是蒙特卡罗方法的前身。它涉及将一根长度为 [latex]l[/latex] 的针投到地板上，地板上有相距 [latex]t[/latex] 的平行线。针穿过一条线的概率为 [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex]（为 [latex]l \le t[/latex]）。这为估算 [latex]\pi[/latex] 提供了一个物理实验。.

归谬法，或称反证法，是一种间接证明的形式。它通过证明假设命题为假会导致逻辑矛盾，从而确立该命题的真理性。 要证明命题 [latex]p[/latex]，需假设其否定命题 [latex]\neg p[/latex]，并由此推导出矛盾，例如 [latex]q \land \neg q[/latex]，从而得出结论：[latex]p[/latex] 必然为真。.

勾股定理是欧几里得几何中直角三角形三边之间的基本关系。它指出，边为斜边（直角对边）的正方形的面积等于其他两条边上的正方形面积之和。该公式表示为 [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]。

这一原理也被称为不等分方法，它指出，如果位于两个平行平面之间的两个固体具有这样的性质：与两个给定平面平行的每个平面与它们相交的截面面积相等，那么这两个固体的体积相等。它提供了一种无需微积分即可计算复杂形状体积的强大方法。

毕达哥拉斯定理为笛卡尔坐标系中的距离公式提供了基础。 平面上两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离 d 由公式 d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) 给出。 该公式直接应用于直角三角形，其两条直角边分别是x坐标与y坐标的差值。.

这是数学史上一个著名的问题。1736 年，莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）解决了这个问题，奠定了图论的基础，并预示了拓扑学的思想。这个问题问的是，哥尼斯堡市的七座桥是否可以在一次旅行中全部走完，而不需要折返两次，并且旅行的终点还是起点的同一陆地。

拓扑学和几何学中的一个基本定理，指出对于任何凸多面体，顶点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系式为 [latex]V - E + F = 2[/latex]。这个值，即 2，是球体的欧拉特性，揭示了与多面体具体形状无关的深层拓扑特性。

贝叶斯定理描述了基于与事件可能相关的先验条件对事件概率的推断。它是概率论与统计学中的基础概念。 数学表达式为：\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}其中A和B为事件，且\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \neq 0。该定理关联了两个随机事件的条件概率与边缘概率。.

二阶线性椭圆偏微分方程，用于描述稳态或平衡条件下的系统。它被写成 [latex]nabla^2 u = 0[/latex] 或 [latex]Delta u = 0[/latex]，其中 [latex]nabla^2[/latex]（或 [latex]Delta[/latex]）是拉普拉斯算子。解称为谐函数，是最平滑的函数，代表静电、重力和流体流动等领域的电势。