Dimostrazione per induzione matematica

La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, ovvero non può essere espressa come rapporto tra due numeri interi p/q. La dimostrazione classica, spesso attribuita ai Pitagorici, è una dimostrazione per assurdo: presuppone che √2 = p/q ai minimi termini, il che porta alla conclusione che sia p che q debbano essere pari, contraddicendo l'ipotesi iniziale.

Il teorema di Tolomeo fornisce un'elegante dimostrazione geometrica per le formule di somma e differenza in trigonometria. Inscrivendo un quadrilatero in una circonferenza con un lato come diametro, le lunghezze dei lati possono essere espresse come seni e coseni degli angoli inscritti. Applicando direttamente il teorema [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] si ottengono identità come [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex].

Il sistema di coordinate cartesiane fornisce un modello algebrico per la geometria euclidea. Utilizza uno o più numeri, o coordinate, per determinare in modo univoco la posizione di un punto nello spazio. In un piano, vengono utilizzate due rette perpendicolari (gli assi x e y), consentendo di descrivere le forme geometriche mediante equazioni algebriche. Questa fusione di algebra e geometria è nota come geometria analitica.

Equazione differenziale parziale lineare iperbolica del secondo ordine che regola la propagazione di vari tipi di onde. Nella sua forma più semplice, si scrive come [latex]\frac{parziale^2 u}{parziale t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è l'ampiezza dell'onda, [latex]c[/latex] è la velocità dell'onda e [latex]\nabla^2[/latex] è l'operatore di Laplace. Modella fenomeni come le corde vibranti, le onde sonore e le onde luminose.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico, un numero che descrive la struttura o la forma di uno spazio topologico indipendentemente da come viene piegato. Per i poliedri, è definita dalla formula [latex]\chi = V - E + F[/latex], dove V, E e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Per una sfera, [latex]\chi = 2[/latex], mentre per un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

È uno dei primi problemi di probabilità geometrica ed è considerato un precursore del metodo Monte Carlo. Si tratta di far cadere un ago di lunghezza [latex]l[/latex] su un pavimento con linee parallele distanti [latex]t[/latex]. La probabilità che l'ago attraversi una linea è [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (per [latex]l \le t[/latex]). Si tratta di un esperimento fisico per stimare [latex]\pi[/latex].

La dimostrazione per assurdo, o reductio ad absurdum, è una forma di dimostrazione indiretta. Essa stabilisce la verità di una proposizione mostrando che assumere la proposizione come falsa porta a una contraddizione logica. Per dimostrare una proposizione p, si assume la sua negazione, Δp, e si deduce una contraddizione, come q ∈ Δq, concludendo così che p deve essere vera.

Il teorema di Pitagora è una relazione fondamentale della geometria euclidea tra i tre lati di un triangolo rettangolo. Esso afferma che l'area del quadrato il cui lato è l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati degli altri due lati. La formula è espressa come [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Noto anche come metodo degli indivisibili, questo principio afferma che se due solidi compresi tra due piani paralleli hanno la proprietà che ogni piano parallelo ai due piani dati li interseca in sezioni trasversali di area uguale, allora i due solidi hanno volumi uguali. Si tratta di un potente metodo per calcolare i volumi di forme complesse senza ricorrere al calcolo.

Il teorema di Pitagora fornisce la base per la formula della distanza in coordinate cartesiane. La distanza d tra due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂) su un piano è data da d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². Questa formula è un'applicazione diretta del teorema a un triangolo rettangolo i cui cateti sono le differenze tra le coordinate x e y.

Si tratta di un problema storicamente notevole in matematica. La sua risoluzione negativa da parte di Leonhard Euler nel 1736 ha posto le basi della teoria dei grafi e ha prefigurato l'idea di topologia. Il problema chiedeva se i sette ponti della città di Königsberg potessero essere attraversati tutti in un solo viaggio senza tornare indietro, e se il viaggio terminasse sulla stessa terraferma da cui era partito.

Teorema fondamentale della topologia e della geometria secondo il quale, per qualsiasi poliedro convesso, il numero di vertici (V), spigoli (E) e facce (F) è legato dalla formula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Questo valore, 2, è la caratteristica di Eulero di una sfera, che rivela una profonda proprietà topologica indipendente dalla forma specifica del poliedro.

Il teorema di Bayes descrive la probabilità di un evento sulla base della conoscenza preliminare delle condizioni che potrebbero essere correlate all'evento stesso. Si tratta di un concetto fondamentale nella teoria della probabilità e nella statistica. Matematicamente, è espresso come [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], dove A e B sono eventi e [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Mette in relazione le probabilità condizionate e marginali di due eventi casuali.

Equazione differenziale parziale ellittica lineare del secondo ordine che descrive sistemi in condizioni di equilibrio o di stato stazionario. Si scrive come [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], dove [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) è l'operatore di Laplace. Le soluzioni, chiamate funzioni armoniche, sono le funzioni più uniformi possibili e rappresentano i potenziali in campi come l'elettrostatica, la gravitazione e il flusso dei fluidi.