الإثبات بالاستقراء الرياضي

الجذر التربيعي لـ 2 هو عدد غير نسبي، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين [latex]p/q[/latex]. والبرهان الكلاسيكي، الذي يُنسب غالبًا إلى أتباع فيثاغورس، هو برهان بالتناقض: فهو يفترض أن [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] في أبسط صورة، مما يؤدي إلى استنتاج أن كلا من [latex]p[/latex] و [latex]q[/latex] يجب أن يكونا زوجيين، مما يتناقض مع الافتراض الأولي.

يقدم نظرية بطليموس دليلاً هندسياً أنيقاً لصيغ الجمع والطرح في علم المثلثات. من خلال رسم شكل رباعي في دائرة بحيث يكون أحد أضلاعه هو القطر، يمكن التعبير عن أطوال الأضلاع بواسطة جيب وجيب تمام الزوايا المرسومة. بتطبيق النظرية [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] مباشرة، نحصل على متطابقات مثل [latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

يوفر نظام الإحداثيات الديكارتية نموذجًا جبريًا للهندسة الإقليدية. ويستخدم عددًا واحدًا أو أكثر، أو إحداثيات، لتحديد موقع نقطة في الفضاء تحديدًا فريدًا. في المستوى، يُستخدم خطان متعامدان (المحوران السيني والصادي)، مما يسمح بوصف الأشكال الهندسية باستخدام معادلات جبرية. يُعرف هذا الدمج بين الجبر والهندسة بالهندسة التحليلية.

معادلة تفاضلية جزئية خطية زائدية قطعية خطية من الرتبة الثانية تحكم انتشار أنواع مختلفة من الموجات. تُكتَب في أبسط صورها على الصورة [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\nabla^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي سعة الموجة، و[latex]c[/latex] هي سرعة الموجة، و[latex]\nabla^2[/latex] هي مشغل لابلاس. وهي تمثّل ظواهر مثل الأوتار الاهتزازية والموجات الصوتية والموجات الضوئية.

خاصية أويلر هي متغير طوبولوجي، وهو رقم يصف بنية الفضاء الطوبولوجي أو شكله بغض النظر عن كيفية ثنيه. بالنسبة إلى متعددات الوجوه، تُعرَّف بالصيغة [latex]\chi = V - E + F[/latex]، حيث V وE وF هي عدد الرءوس والأحرف والأوجه، على التوالي. بالنسبة إلى الكرة، [latex]\chi = 2[/latex]، بينما بالنسبة إلى الطور، [latex]\chi = 0[/latex].

وهي واحدة من أقدم المسائل في الاحتمالات الهندسية، وتُعتبر مقدمة لطريقة مونت كارلو. وهي تتضمن إسقاط إبرة طولها [latex]l[/latex] على أرضية بها خطوط متوازية تفصل بينها مسافة [latex]T[/latex]. احتمال أن تعبر الإبرة خطًا ما يساوي [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (ل [latex]l \le t[/latex]). وهذا يوفر تجربة فيزيائية لتقدير [latex] \pi[/latex].

الإثبات بالتناقض، أو الاستدلال بالعبثية، هو شكل من أشكال الإثبات غير المباشر. وهو يثبت صحة فرضية ما من خلال إظهار أن افتراض عدم صحة الفرضية يؤدي إلى تناقض منطقي. لإثبات صحة القضية [latex]p[/latex]، يفترض المرء نفيها، [latex]\neg p[/latex]، ويستنتج تناقضًا، مثل [latex]q \land \neg q[/latex]، وبالتالي يستنتج أن [latex]p[/latex] يجب أن تكون صحيحة.

نظرية فيثاغورس هي علاقة أساسية في الهندسة الإقليدية بين الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية. وتنص على أن مساحة المربع الذي يكون ضلعه هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) تساوي مجموع مساحتي المربعين في الضلعين الآخرين. تُعبَّر الصيغة على الصورة [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

ينص هذا المبدأ، الذي يُعرَف أيضًا باسم طريقة عدم التجزئة، على أنه إذا كان هناك مجسّمان يقعان بين مستويين متوازيين لهما خاصية أن كل مستوى موازٍ للمستويين المعطيين يتقاطعان معًا في مقاطع عرضية متساوية المساحة، فإن المجسمين يكونان متساويين في الحجم. وهي توفر طريقة فعالة لحساب حجوم الأشكال المعقدة دون حساب التفاضل والتكامل.

توفر نظرية فيثاغورس الأساس لصيغة المسافة في الإحداثيات الكارتيزية. المسافة [latex]d[/latex] بين نقطتين [latex](x_1, y_1)[/latex] و [latex](x_2, y_2)[/latex] في مستوى ما تُعطى بالصيغة [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. هذه الصيغة هي تطبيق مباشر للنظرية على مثلث قائم الزاوية يكون ضلعاه هما الفرقان في إحداثيات x و y.

هذه مشكلة بارزة تاريخياً في الرياضيات. فقد أرسى حلها السلبي من قبل ليونارد أويلر في عام 1736 أسس نظرية الرسم البياني ومهد لفكرة الطوبولوجيا. تساءلت المشكلة عما إذا كان من الممكن اجتياز جسور مدينة كونيغسبرغ السبعة في رحلة واحدة دون العودة إلى الوراء، على أن تنتهي الرحلة على نفس اليابسة التي بدأت بها.

نظرية أساسية في علم الطوبولوجيا والهندسة تنص على أنه بالنسبة لأي متعدد الوجوه محدب، يرتبط عدد الرءوس (V) والأحرف (E) والأوجه (F) بالصيغة [latex]V - E + F = 2[/latex]. هذه القيمة، 2، هي خاصية أويلر للمجسم الكروي، وتكشف عن خاصية طوبولوجية عميقة مستقلة عن الشكل المحدد لمتعدد الأوجه.

يصف نظرية بايز احتمالية وقوع حدث ما بناءً على المعرفة المسبقة بالظروف التي قد تكون مرتبطة بالحدث. وهي مفهوم أساسي في نظرية الاحتمالات والإحصاء. من الناحية الرياضية، يتم التعبير عنه على النحو التالي: [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]، حيث A و B هما حدثان و [latex]P(B) \neq 0[/latex]. ويربط بين الاحتمالات الشرطية والهامشية لحدثين عشوائيين.

معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الرتبة الثانية تصف الأنظمة في حالة استقرار أو حالة توازن. وهي مكتوبة على الصورة [latex]nabla^2 u = 0[/latex] أو [latex]Delta u = 0[/latex]، حيث [latex]nabla^2[/latex] (أو [latex]Delta[/latex]) هو مشغل لابلاس. الحلول التي تُسمى الدوال التوافقية هي أنعم الدوال الممكنة وتمثل الإمكانات في مجالات مثل الكهرباء الساكنة والجاذبية وسريان الموائع.