Inferência Bayesiana

A característica de Euler é um invariante topológico, um número que descreve a estrutura ou forma de um espaço topológico, independentemente de como ele seja curvado. Para poliedros, ela é definida pela fórmula [latex]chi = V - E + F[/latex], onde V, E e F são o número de vértices, arestas e faces, respectivamente. Para uma esfera, [latex]chi = 2[/latex], enquanto para um toro, [latex]chi = 0[/latex].

Um dos primeiros problemas em probabilidade geométrica, é considerado um precursor do método de Monte Carlo. Consiste em deixar cair uma agulha de comprimento l sobre um piso com linhas paralelas separadas por uma distância t. A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é P = 2l/πt (para l ≤ t). Isso fornece um experimento físico para estimar π.

O teorema de Parseval relaciona a energia total de um sinal (a integral do seu quadrado ao longo de um período) com a soma dos quadrados das energias dos componentes da sua série de Fourier. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], o teorema afirma: [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], onde [latex]c_n[/latex] são os coeficientes complexos de Fourier.

Uma série de Fourier decompõe qualquer função ou sinal periódico em uma soma de funções oscilantes simples, nomeadamente senos e cossenos. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], a série é dada por [latex]s(x) approx frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nx}{P}right) + b_n sinleft(frac{2pi nx}{P}right)right][/latex]. Os termos [latex]a_n[/latex] e [latex]b_n[/latex] são os coeficientes de Fourier.

O Teorema Egregium (do latim "Teorema Notável") afirma que a curvatura gaussiana de uma superfície é uma propriedade intrínseca. Isso significa que ela depende apenas de como as distâncias são medidas na própria superfície, e não de como a superfície está inserida no espaço tridimensional. Uma folha de papel plana pode ser enrolada em um cilindro, mas não em uma esfera, sem ser esticada.

Para que uma série de Fourier convirja para o valor da função, esta deve satisfazer as condições de Dirichlet ao longo de um período. Estas são: (1) a função deve ser absolutamente integrável, (2) deve ter um número finito de extremos (máximos e mínimos) e (3) deve ter um número finito de descontinuidades.

Um teorema fundamental em topologia e geometria afirma que, para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F) estão relacionados pela fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Esse valor, 2, é a característica de Euler de uma esfera, revelando uma profunda propriedade topológica independente da forma específica do poliedro.

O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas a esse evento. É um conceito fundamental na teoria da probabilidade e na estatística. Matematicamente, é expresso como [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], onde A e B são eventos e [latex]P(B) neq 0[/latex]. Ele relaciona as probabilidades condicionais e marginais de dois eventos aleatórios.

Uma equação diferencial parcial elíptica linear de segunda ordem que descreve sistemas em estado estacionário ou em equilíbrio. É escrita como ∇²u = 0 ou Δu = 0, onde ∇² (ou Δ) é o operador de Laplace. As soluções, chamadas funções harmônicas, são as funções mais suaves possíveis e representam potenciais em campos como eletrostática, gravitação e fluxo de fluidos.

Uma abordagem padrão para aproximar soluções de sistemas sobredeterminados consiste em encontrar parâmetros do modelo que minimizem a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e previstos. Essa soma é conhecida como soma dos quadrados dos resíduos (SSR). O objetivo é encontrar os parâmetros [latex]hat{beta}[/latex] que minimizem a função [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex].

Uma equação diferencial parcial parabólica linear fundamental de segunda ordem que descreve a distribuição de calor ou outros processos de difusão. Sua forma canônica é [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a temperatura, [latex]t[/latex] é o tempo e [latex]alpha[/latex] é a difusividade térmica. As soluções modelam como uma distribuição de temperatura inicial evolui, suavizando as irregularidades ao longo do tempo e aproximando-se de um estado estacionário.

Os coeficientes da série de Fourier de uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex] são calculados usando fórmulas integrais. O componente DC é [latex]a_0 = frac{2}{P} int_{P} s(x) , dx[/latex]. Os coeficientes do cosseno são [latex]a_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) cosleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex], e os coeficientes do seno são [latex]b_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) sinleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] para [latex]n ge 1[/latex].

Uma solução fundamental de um operador diferencial parcial linear [latex]L[/latex] é uma solução da equação [latex]Lu = delta(x)[/latex], onde [latex]delta(x)[/latex] é a função delta de Dirac. Ela representa a resposta do sistema a uma fonte pontual ou impulso. Uma vez conhecida, a solução da equação não homogênea [latex]Lu = f(x)[/latex] pode ser encontrada por convolução: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], onde [latex]G[/latex] é a solução fundamental.

O teorema de Gauss-Bonnet relaciona a geometria de uma superfície compacta bidimensional à sua topologia. Ele afirma que a integral da curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sobre toda a superfície [latex]M[/latex] é igual a [latex]2pi[/latex] vezes a característica de Euler [latex]chi(M)[/latex] da superfície. A fórmula é [latex]int_M K , dA = 2pi chi(M)[/latex].