Característica de Euler

O sistema de coordenadas cartesianas fornece um modelo algébrico para a geometria euclidiana. Ele utiliza um ou mais números, ou coordenadas, para determinar de forma única a posição de um ponto no espaço. Em um plano, são utilizadas duas linhas perpendiculares (o eixo x e o eixo y), permitindo que formas geométricas sejam descritas por equações algébricas. Essa fusão de álgebra e geometria é conhecida como geometria analítica.

A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma propriedade [latex]P(n)[/latex] é válida para todo número natural [latex]n[/latex]. Ela envolve duas etapas: o caso base, provar que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] é verdadeira, e a etapa indutiva, provar que se [latex]P(k)[/latex] é verdadeira para algum número natural [latex]k[/latex] (a hipótese de indução), então [latex]P(k+1)[/latex] também é verdadeira.

Uma equação diferencial parcial hiperbólica linear de segunda ordem que rege a propagação de vários tipos de ondas. Em sua forma mais simples, é escrita como [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a amplitude da onda, [latex]c[/latex] é a velocidade da onda e [latex]nabla^2[/latex] é o operador de Laplace. Ela modela fenômenos como cordas vibrantes, ondas sonoras e ondas de luz.

Um dos primeiros problemas em probabilidade geométrica, é considerado um precursor do método de Monte Carlo. Consiste em deixar cair uma agulha de comprimento l sobre um piso com linhas paralelas separadas por uma distância t. A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é P = 2l/πt (para l ≤ t). Isso fornece um experimento físico para estimar π.

O teorema de Parseval relaciona a energia total de um sinal (a integral do seu quadrado ao longo de um período) com a soma dos quadrados das energias dos componentes da sua série de Fourier. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], o teorema afirma: [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], onde [latex]c_n[/latex] são os coeficientes complexos de Fourier.

A inferência Bayesiana é um método estatístico onde o teorema de Bayes é usado para atualizar a probabilidade de uma hipótese à medida que mais evidências ou informações se tornam disponíveis. É um princípio central da estatística Bayesiana. A ideia central é expressa como: a probabilidade posterior é proporcional ao produto da probabilidade a priori e da verossimilhança, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], onde [latex]theta[/latex] é o parâmetro e D são os dados.

Também conhecido como método dos indivisíveis, este princípio afirma que se dois sólidos situados entre dois planos paralelos têm a propriedade de que todos os planos paralelos aos dois planos dados os intersectam em seções transversais de áreas iguais, então os dois sólidos têm volumes iguais. Ele fornece um método poderoso para calcular volumes de figuras complexas sem o uso de cálculo diferencial e integral.

O teorema de Pitágoras fornece a base para a fórmula da distância em coordenadas cartesianas. A distância [latex]d[/latex] entre dois pontos [latex](x_1, y_1)[/latex] e [latex](x_2, y_2)[/latex] em um plano é dada por [latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Esta fórmula é uma aplicação direta do teorema a um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças entre as coordenadas x e y.

Este é um problema historicamente notável na matemática. Sua resolução negativa por Leonhard Euler em 1736 lançou as bases da teoria dos grafos e antecipou a ideia de topologia. O problema questionava se as sete pontes da cidade de Königsberg poderiam ser atravessadas em uma única viagem sem retorno, terminando a viagem no mesmo ponto de partida.

Um teorema fundamental em topologia e geometria afirma que, para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F) estão relacionados pela fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Esse valor, 2, é a característica de Euler de uma esfera, revelando uma profunda propriedade topológica independente da forma específica do poliedro.

O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas a esse evento. É um conceito fundamental na teoria da probabilidade e na estatística. Matematicamente, é expresso como [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], onde A e B são eventos e [latex]P(B) neq 0[/latex]. Ele relaciona as probabilidades condicionais e marginais de dois eventos aleatórios.

Uma equação diferencial parcial elíptica linear de segunda ordem que descreve sistemas em estado estacionário ou em equilíbrio. É escrita como ∇²u = 0 ou Δu = 0, onde ∇² (ou Δ) é o operador de Laplace. As soluções, chamadas funções harmônicas, são as funções mais suaves possíveis e representam potenciais em campos como eletrostática, gravitação e fluxo de fluidos.

Uma abordagem padrão para aproximar soluções de sistemas sobredeterminados consiste em encontrar parâmetros do modelo que minimizem a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e previstos. Essa soma é conhecida como soma dos quadrados dos resíduos (SSR). O objetivo é encontrar os parâmetros [latex]hat{beta}[/latex] que minimizem a função [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex].

Uma equação diferencial parcial parabólica linear fundamental de segunda ordem que descreve a distribuição de calor ou outros processos de difusão. Sua forma canônica é [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a temperatura, [latex]t[/latex] é o tempo e [latex]alpha[/latex] é a difusividade térmica. As soluções modelam como uma distribuição de temperatura inicial evolui, suavizando as irregularidades ao longo do tempo e aproximando-se de um estado estacionário.