Teorema de Bayes

O teorema de Pitágoras fornece a base para a fórmula da distância em coordenadas cartesianas. A distância [latex]d[/latex] entre dois pontos [latex](x_1, y_1)[/latex] e [latex](x_2, y_2)[/latex] em um plano é dada por [latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Esta fórmula é uma aplicação direta do teorema a um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças entre as coordenadas x e y.

Este é um problema historicamente notável na matemática. Sua resolução negativa por Leonhard Euler em 1736 lançou as bases da teoria dos grafos e antecipou a ideia de topologia. O problema questionava se as sete pontes da cidade de Königsberg poderiam ser atravessadas em uma única viagem sem retorno, terminando a viagem no mesmo ponto de partida.

Um teorema fundamental em topologia e geometria afirma que, para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F) estão relacionados pela fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Esse valor, 2, é a característica de Euler de uma esfera, revelando uma profunda propriedade topológica independente da forma específica do poliedro.

Uma equação diferencial parcial elíptica linear de segunda ordem que descreve sistemas em estado estacionário ou em equilíbrio. É escrita como ∇²u = 0 ou Δu = 0, onde ∇² (ou Δ) é o operador de Laplace. As soluções, chamadas funções harmônicas, são as funções mais suaves possíveis e representam potenciais em campos como eletrostática, gravitação e fluxo de fluidos.

Uma abordagem padrão para aproximar soluções de sistemas sobredeterminados consiste em encontrar parâmetros do modelo que minimizem a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e previstos. Essa soma é conhecida como soma dos quadrados dos resíduos (SSR). O objetivo é encontrar os parâmetros [latex]hat{beta}[/latex] que minimizem a função [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex].

Uma equação diferencial parcial parabólica linear fundamental de segunda ordem que descreve a distribuição de calor ou outros processos de difusão. Sua forma canônica é [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a temperatura, [latex]t[/latex] é o tempo e [latex]alpha[/latex] é a difusividade térmica. As soluções modelam como uma distribuição de temperatura inicial evolui, suavizando as irregularidades ao longo do tempo e aproximando-se de um estado estacionário.

O sistema de coordenadas cartesianas fornece um modelo algébrico para a geometria euclidiana. Ele utiliza um ou mais números, ou coordenadas, para determinar de forma única a posição de um ponto no espaço. Em um plano, são utilizadas duas linhas perpendiculares (o eixo x e o eixo y), permitindo que formas geométricas sejam descritas por equações algébricas. Essa fusão de álgebra e geometria é conhecida como geometria analítica.

A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma propriedade [latex]P(n)[/latex] é válida para todo número natural [latex]n[/latex]. Ela envolve duas etapas: o caso base, provar que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] é verdadeira, e a etapa indutiva, provar que se [latex]P(k)[/latex] é verdadeira para algum número natural [latex]k[/latex] (a hipótese de indução), então [latex]P(k+1)[/latex] também é verdadeira.

Uma equação diferencial parcial hiperbólica linear de segunda ordem que rege a propagação de vários tipos de ondas. Em sua forma mais simples, é escrita como [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a amplitude da onda, [latex]c[/latex] é a velocidade da onda e [latex]nabla^2[/latex] é o operador de Laplace. Ela modela fenômenos como cordas vibrantes, ondas sonoras e ondas de luz.

A característica de Euler é um invariante topológico, um número que descreve a estrutura ou forma de um espaço topológico, independentemente de como ele seja curvado. Para poliedros, ela é definida pela fórmula [latex]chi = V - E + F[/latex], onde V, E e F são o número de vértices, arestas e faces, respectivamente. Para uma esfera, [latex]chi = 2[/latex], enquanto para um toro, [latex]chi = 0[/latex].

Um dos primeiros problemas em probabilidade geométrica, é considerado um precursor do método de Monte Carlo. Consiste em deixar cair uma agulha de comprimento l sobre um piso com linhas paralelas separadas por uma distância t. A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é P = 2l/πt (para l ≤ t). Isso fornece um experimento físico para estimar π.

O teorema de Parseval relaciona a energia total de um sinal (a integral do seu quadrado ao longo de um período) com a soma dos quadrados das energias dos componentes da sua série de Fourier. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], o teorema afirma: [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], onde [latex]c_n[/latex] são os coeficientes complexos de Fourier.

A inferência Bayesiana é um método estatístico onde o teorema de Bayes é usado para atualizar a probabilidade de uma hipótese à medida que mais evidências ou informações se tornam disponíveis. É um princípio central da estatística Bayesiana. A ideia central é expressa como: a probabilidade posterior é proporcional ao produto da probabilidade a priori e da verossimilhança, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], onde [latex]theta[/latex] é o parâmetro e D são os dados.

Uma série de Fourier decompõe qualquer função ou sinal periódico em uma soma de funções oscilantes simples, nomeadamente senos e cossenos. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], a série é dada por [latex]s(x) approx frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nx}{P}right) + b_n sinleft(frac{2pi nx}{P}right)right][/latex]. Os termos [latex]a_n[/latex] e [latex]b_n[/latex] são os coeficientes de Fourier.