Inférence bayésienne

La caractéristique d'Euler est un invariant topologique, un nombre qui décrit la structure ou la forme d'un espace topologique indépendamment de la façon dont il est plié. Pour les polyèdres, elle est définie par la formule [latex]\chi = V - E + F[/latex], où V, E et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces. Pour une sphère, [latex]\chi = 2[/latex], tandis que pour un tore, [latex]\chi = 0[/latex].

Il s'agit de l'un des premiers problèmes de probabilité géométrique, considéré comme un précurseur de la méthode de Monte Carlo. Il s'agit de laisser tomber une aiguille de longueur [latex]l[/latex] sur un sol comportant des lignes parallèles distantes de [latex]t[/latex]. La probabilité que l'aiguille traverse une ligne est de [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (pour [latex]l \le t[/latex]). On dispose ainsi d'une expérience physique pour estimer [latex]\pi[/latex].

Le théorème de Parseval relie l'énergie totale d'un signal (l'intégrale de son carré sur une période) à la somme des énergies au carré de ses composantes de la série de Fourier. Pour une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex], le théorème énonce : [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], où [latex]c_n[/latex] sont les coefficients de Fourier complexes.

Une série de Fourier décompose toute fonction ou tout signal périodique en une somme de fonctions oscillantes simples, à savoir des sinus et des cosinus. Pour une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex], la série est donnée par [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. Les termes [latex]a_n[/latex] et [latex]b_n[/latex] sont les coefficients de Fourier.

Le théorème Egregium (en latin "Théorème remarquable") stipule que la courbure gaussienne d'une surface est une propriété intrinsèque. Cela signifie qu'elle ne dépend que de la façon dont les distances sont mesurées sur la surface elle-même, et non de la façon dont la surface est intégrée dans l'espace tridimensionnel. Une feuille de papier plate peut être roulée en cylindre mais pas en sphère sans s'étirer.

Pour qu'une série de Fourier converge vers la valeur de la fonction, celle-ci doit satisfaire aux conditions de Dirichlet sur une période. Ces conditions sont les suivantes : (1) la fonction doit être absolument intégrable, (2) elle doit posséder un nombre fini d'extrema (maxima et minima), et (3) elle doit présenter un nombre fini de discontinuités.

Théorème fondamental en topologie et en géométrie stipulant que pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de faces (F) est lié par la formule [latex]V - E + F = 2[/latex]. Cette valeur, 2, est la caractéristique d'Euler d'une sphère, révélant une propriété topologique profonde indépendante de la forme spécifique du polyèdre.

Le théorème de Bayes décrit la probabilité d'un événement sur la base des connaissances préalables des conditions qui pourraient être liées à cet événement. Il s'agit d'un concept fondamental en théorie des probabilités et en statistiques. Mathématiquement, il s'écrit [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], où A et B sont des événements et [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Il relie les probabilités conditionnelles et marginales de deux événements aléatoires.

Une équation différentielle partielle elliptique linéaire du second ordre qui décrit des systèmes dans un état stable ou d'équilibre. Elle s'écrit [latex]nabla^2 u = 0[/latex] ou [latex]Delta u = 0[/latex], où [latex]nabla^2[/latex] (ou [latex]Delta[/latex]) est l'opérateur de Laplace. Les solutions, appelées fonctions harmoniques, sont les fonctions les plus lisses possibles et représentent des potentiels dans des domaines tels que l'électrostatique, la gravitation et l'écoulement des fluides.

Une approche standard pour l'approximation des solutions de systèmes surdéterminés en trouvant des paramètres de modèle qui minimisent la somme des différences au carré entre les valeurs observées et prédites. Cette somme est connue sous le nom de somme des résidus quadratiques (SSR). L'objectif est de trouver les paramètres [latex]\hat{\beta}[/latex] qui minimisent la fonction [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Équation différentielle partielle parabolique linéaire fondamentale du second ordre décrivant la distribution de la chaleur ou d'autres processus de diffusion. Sa forme canonique est [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est la température, [latex]t[/latex] est le temps et [latex]\alpha[/latex] est la diffusivité thermique. Les solutions modélisent l'évolution d'une distribution initiale de la température, lissant les irrégularités au fil du temps et s'approchant d'un état stable.

Les coefficients de la série de Fourier d'une fonction [latex]s(x)[/latex] de période [latex]P[/latex] sont calculés à l'aide de formules intégrales. La composante continue est [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. Les coefficients cosinus sont [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], et les coefficients sinus sont [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] pour [latex]n ge 1[/latex].

Une solution fondamentale d'un opérateur différentiel partiel linéaire [latex]L[/latex] est une solution à l'équation [latex]Lu = delta(x)[/latex], où [latex]delta(x)[/latex] est la fonction delta de Dirac. Elle représente la réponse du système à une source ponctuelle ou à une impulsion. Une fois connue, la solution de l'équation inhomogène [latex]Lu = f(x)[/latex] peut être trouvée par convolution : [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], où [latex]G[/latex] est la solution fondamentale.

Le théorème de Gauss-Bonnet relie la géométrie d'une surface compacte à deux dimensions à sa topologie. Il stipule que l'intégrale de la courbure gaussienne [latex]K[/latex] sur l'ensemble de la surface [latex]M[/latex] est égale à [latex]2\pi[/latex] fois la caractéristique d'Euler [latex]\chi(M)[/latex] de la surface. La formule est [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].