(صورة توضيحية فقط)
يُعمم مؤشر فريدهولم نظرية الرتبة والعدم إلى الفضاءات اللانهائية الأبعاد مثل فضاءات باناخ. بالنسبة لمؤثر فريدهولم [latex]T: X to Y[/latex]، يُعرَّف دليله على النحو التالي: [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) – dim(text{coker}(T))[/latex]، حيث يقيس بُعد النواة المشتركة مدى بُعد الصورة عن الفضاء بأكمله. هذا الدليل قيمة عددية صحيحة ثابتة تحت تأثير اضطرابات صغيرة للمؤثر.
ال rank-nullity theorem, [latex]\dim(V) – \text{rank}(T) = \text{nullity}(T)[/latex], holds for linear maps between finite-dimensional vector spaces. In this context, [latex]\dim(V) – \text{rank}(T)[/latex] is the dimension of the cokernel, [latex]\text{coker}(T) = W/\text{im}(T)[/latex]. Thus, the theorem can be written as [latex]\dim(\ker(T)) – \dim(\text{coker}(T)) = 0[/latex]. The Fredholm index extends this idea to Fredholm operators, which are bounded linear operators between Banach spaces whose kernel and cokernel are both finite-dimensional.
بالنسبة للمؤثر [latex]T: X to Y[/latex]، يكون دليل فريدهولم [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) – dim(text{coker}(T))[/latex]. على عكس الحالة ذات الأبعاد المحدودة حيث يكون هذا الفرق صفرًا دائمًا، في الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية، يمكن أن يكون الدليل أي عدد صحيح. من الخصائص الأساسية للدليل استقراره: فهو لا يتغير تحت تأثير الاضطرابات المدمجة للمؤثر. هذا يعني أنه إذا كان [latex]K[/latex] مؤثرًا مدمجًا، فإن [latex]text{ind}(T+K) = text{ind}(T)[/latex].
The concept of the cokernel is crucial for this generalization. For a map [latex]T: X \to Y[/latex], the image [latex]\text{im}(T)[/latex] is a subspace of the codomain [latex]Y[/latex]. The cokernel, [latex]\text{coker}(T)[/latex], is the quotient space [latex]Y / \text{im}(T)[/latex]. Its dimension measures the ‘number of independent directions’ in [latex]Y[/latex] that are not reached by [latex]T[/latex]. In finite dimensions, the نظرية الرتبة والعدم implies [latex]\dim(\ker(T)) = \dim(\text{coker}(T))[/latex]. In infinite dimensions, this equality breaks down, but the difference between these two finite dimensions remains a stable integer, the Fredholm index.
هذا الاستقرار يجعل المؤشر ثابتًا طوبولوجيًا قويًا. ويلعب دورًا محوريًا في نظرية مؤشر عطية-سينغر، إحدى أعمق نتائج رياضيات القرن العشرين، والتي تربط المؤشر التحليلي لمؤثر تفاضلي على متعدد شعب مدمج بالثوابت الطوبولوجية لذلك المتعدد. هذا يُسهّل الفجوة بين التحليل والطوبولوجيا، مع نتائج بعيدة المدى في الفيزياء النظرية والهندسة.
مؤشر فريدهولم
(إذا كان التاريخ غير معروف أو غير ذي صلة، على سبيل المثال "ميكانيكا الموائع"، يتم توفير تقدير تقريبي لظهوره الملحوظ)
الصور والتنزيلات بالحجم الكامل متاحة فقط، ومجانية تمامًا، للأعضاء المسجلين.
> تسجيل الدخول <
