(Image générée à titre d'illustration uniquement)
The thermal efficiency ([latex]\eta_{th}[/latex]) of an ideal Otto cycle is a function of the compression ratio ([latex]r[/latex]) and the specific heat ratio ([latex]\gamma[/latex]) of the working fluid. The formula is [latex]\eta_{th} = 1 – \frac{1}{r^{\gamma-1}}[/latex]. This equation shows that efficiency increases with the compression ratio, providing a fundamental principle for engine design and performance optimization.
The derivation of the Otto cycle thermal efficiency formula begins with the general definition of thermal efficiency for any heat engine: [latex]\eta_{th} = \frac{W_{net}}{Q_{in}} = 1 – \frac{Q_{out}}{Q_{in}}[/latex], where [latex]W_{net}[/latex] is the net work output, [latex]Q_{in}[/latex] is the heat added, and [latex]Q_{out}[/latex] is the heat rejected. For the Otto cycle, heat is added at constant volume (process 2-3) and rejected at constant volume (process 4-1). Therefore, [latex]Q_{in} = m c_v (T_3 – T_2)[/latex] and [latex]Q_{out} = m c_v (T_4 – T_1)[/latex], where [latex]m[/latex] is the mass of the working fluid, [latex]c_v[/latex] is the specific heat at constant volume, and [latex]T[/latex] represents the temperature at the numbered states of the cycle.
En les substituant dans l'équation d'efficacité, on obtient [latex]\eta_{th} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}[/latex]. Pour simplifier cela en termes de volumes, nous utilisons les relations pour les processus isentropiques (1-2 et 3-4). Pour un processus isentropique, [latex]TV^{\gamma-1} = \text{constante}[/latex]. Ainsi, [latex]\frac{T_2}{T_1} = (\frac{V_1}{V_2})^{\gamma-1} = r^{\gamma-1}[/latex] et [latex]\frac{T_3}{T_4} = (\frac{V_4}{V_3})^{\gamma-1} = r^{\gamma-1}[/latex]. Cela implique que [latex]\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}[/latex] ou [latex]\frac{T_4}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}[/latex]. En réarrangeant l'équation d'efficacité en [latex]\eta_{th} = 1 - \frac{T_1(T_4/T_1 - 1)}{T_2(T_3/T_2 - 1)}[/latex] et en substituant l'égalité du rapport de température, les termes entre parenthèses s'annulent. Il reste donc [latex]\eta_{th} = 1 - \frac{T_1}{T_2}[/latex]. Enfin, en utilisant la relation isentropique [latex]\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma-1} = \frac{1}{r^{\gamma-1}}[/latex], nous arrivons à la formule finale : [latex]\eta_{th} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}[/latex].
Rendement thermique du cycle d'Otto
(si la date est inconnue ou non pertinente, par exemple « mécanique des fluides », une estimation arrondie de son émergence notable est fournie)
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