Cohomologie des gerbes

La représentation canonique, ou forme standard, d'un entier positif [latex]n[/latex] est sa factorisation unique en nombres premiers écrite sous forme de produit de puissances de nombres premiers classés par ordre croissant. Pour tout entier [latex]n > 1[/latex], on peut écrire [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex], où [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] sont des nombres premiers et les exposants [latex]a_i[/latex] sont des entiers positifs.

Théorème fondamental d'existence et d'unicité des équations aux dérivées partielles associées aux problèmes de Cauchy aux valeurs initiales. Il stipule que si l'EDP et les conditions initiales sont analytiques (représentables par des séries entières convergentes), alors une solution analytique unique existe au voisinage de la surface initiale. Il garantit l'existence locale, mais ne traite pas du comportement global ni de la bonne pose.

Pour un nombre premier [latex]p[/latex], les nombres p-adiques forment une extension des nombres rationnels qui est topologiquement différente des nombres réels. Alors que les nombres réels sont un complétement de [latex]\mathbb{Q}[/latex] par rapport à la métrique habituelle de valeur absolue, les nombres p-adiques sont le complétement de [latex]\mathbb{Q}[/latex] par rapport à la métrique p-adique, où les nombres sont " petits " s'ils sont divisibles par une puissance élevée de [latex]p[/latex].

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est pas algébrique, ce qui signifie qu'il n'est la racine d'aucune équation polynomiale non nulle à coefficients entiers (ou rationnels). Tous les nombres transcendants sont irrationnels, mais tous les nombres irrationnels ne sont pas transcendants (par exemple, [latex]\sqrt{2}[/latex] est irrationnel mais algébrique, car il est une racine de [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

Bien qu'il soit dense, ce qui signifie qu'entre deux nombres rationnels distincts il en existe un autre, l'ensemble de tous les nombres rationnels [latex]\mathbb{Q}[/latex] est infini dénombrable. Cela signifie que tous les nombres rationnels peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. Ce résultat surprenant démontre que [latex]\mathbb{Q}[/latex] a la même cardinalité que [latex]\mathbb{N}[/latex] et [latex]\mathbb{Z}[/latex].

Le Nullstellensatz de Hilbert (en allemand, "théorème des zéros") établit une correspondance fondamentale entre la géométrie et l'algèbre. Il stipule que pour un corps algébriquement clos [latex]k[/latex], si un polynôme [latex]p[/latex] s'évanouit sur l'ensemble des zéros d'un idéal [latex]I[/latex], alors une puissance de [latex]p[/latex] doit appartenir à [latex]I[/latex]. Formellement, [latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex], le radical de [latex]I[/latex].

Une variété affine est l'ensemble des points d'un espace affine dont les coordonnées sont les zéros communs d'un ensemble fini de polynômes. Pour un ensemble de polynômes [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex] dans un anneau polynomial [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex], la variété affine correspondante est [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ for all } f \in S}[/latex]. C'est un objet d'étude central en géométrie algébrique classique.