쉬프 코호몰로지

양의 정수 n의 표준 표현 또는 표준 형식은 소수의 거듭제곱의 곱으로 나타낸 유일한 소인수 분해이며, 이때 소수는 오름차순으로 나열됩니다. 임의의 정수 n > 1에 대해 n = p₁ᵢ₁ᵢ₂ᵢ⋅pᵢᵢᵢ[/latex]로 나타낼 수 있으며, 여기서 p₁<p₂<⋅<pᵢ[/latex]는 소수이고 지수 aᵢ는 양의 정수입니다.

코시 초기값 문제와 관련된 편미분 방정식에 대한 기본적인 존재 및 유일성 정리입니다. 이 정리는 편미분 방정식과 초기 조건이 '해석적'(수렴하는 멱급수로 표현될 수 있는)이면 초기 조건 표면 근방에 유일한 해석적 해가 존재한다는 것을 나타냅니다. 이는 국소적인 존재를 보장하지만, 전역적인 거동이나 해의 존재성 및 유일성은 다루지 않습니다.

소수 p에 대해 p진수는 유리수의 확장으로, 위상적으로 실수와 다릅니다. 실수는 일반적인 절댓값 계량에 대한 Q 공간의 완비화인 반면, p진수는 p진 계량에 대한 Q 공간의 완비화이며, 여기서 p의 높은 거듭제곱으로 나누어 떨어지는 수를 "작은 수"라고 합니다.

초월수는 실수 또는 복소수이면서 대수적 근이 아닌 수입니다. 즉, 정수(또는 유리수) 계수를 갖는 0이 아닌 다항식 방정식의 근이 아닌 수입니다. 모든 초월수는 무리수이지만, 모든 무리수가 초월수는 아닙니다(예: √2는 무리수이지만 x² - 2 = 0의 근이므로 대수적 근입니다).

유리수 집합 [latex]mathbb{Q}[/latex]는 두 유리수 사이에 항상 다른 유리수가 존재한다는 점에서 밀도가 높음에도 불구하고 셀 수 없이 많은 무한 집합이다. 이는 모든 유리수를 자연수 집합 [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex]와 일대일로 대응시킬 수 있음을 의미한다. 이 놀라운 결과는 [latex]mathbb{Q}[/latex]가 [latex]mathbb{N}[/latex] 및 [latex]mathbb{Z}[/latex]와 동일한 기수(cardinality)를 가진다는 것을 보여준다.

힐베르트의 영점 정리(독일어로 "영점 정리")는 기하학과 대수학 사이의 근본적인 대응 관계를 확립합니다. 이 정리는 대수적으로 닫힌 체 [latex]k[/latex]에 대해, 다항식 [latex]p[/latex]가 아이디얼 [latex]I[/latex]의 영집합에서 0이 되면, [latex]p[/latex]의 어떤 거듭제곱이 [latex]I[/latex]에 속해야 한다는 것을 나타냅니다. 형식적으로는 [latex]I(V(I)) = sqrt{I}[/latex], 즉 [latex]I[/latex]의 근기입니다.

아핀 다양체는 아핀 공간에서 유한 다항식 집합의 공통 근을 좌표로 갖는 점들의 집합입니다. 다항식 환 [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex]에서 다항식 집합 [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex]에 대해, 대응하는 아핀 다양체는 [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex]입니다. 이는 고전 대수 기하학에서 중요한 연구 대상입니다.