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शीफ कोहोमोलॉगी

1950
  • Jean Leray
  • Henri Cartan
  • Jean-Pierre Serre
  • Alexander Grothendieck
Mathematician's workspace focused on sheaf cohomology with textbooks and notes.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

शीफ कोहोमोलॉगी आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय स्थानों के वैश्विक गुणों के अध्ययन के लिए एक केंद्रीय उपकरण है। किसी स्थान X पर स्थित शीफ F के लिए, कोहोमोलॉगी समूह H^i(X, F) सदिश स्थान होते हैं जिनकी विमाएँ महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीयताएँ प्रदान करती हैं। समूह H^0 वैश्विक अनुभागों का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि i > 0 के लिए उच्च समूह H^i स्थानीय अनुभागों को एक वैश्विक अनुभाग में संयोजित करने में आने वाली बाधाओं को मापते हैं।

शीफ कोहोमोलॉगी के पीछे की मूल अवधारणा एक निश्चित "स्थानीय-से-वैश्विक" सिद्धांत की विफलता को मापना है। शीफ एक ऐसा उपकरण है जो डेटा (जैसे फ़ंक्शन या वेक्टर स्पेस) को शीफ के खुले सेटों में असाइन करता है। टोपोलॉजिकल स्पेस एक सुसंगत तरीके से। ग्लोबल सेक्शंस फंक्टर, जो एक शीफ [latex]mathcal{F}[/latex] लेता है और उसके ग्लोबल सेक्शंस का समूह [latex]Gamma(X, mathcal{F})[/latex] लौटाता है, लेफ्ट एग्जैक्ट है लेकिन हमेशा राइट एग्जैक्ट नहीं होता। शीफ कोहोमोलॉगी समूहों को ग्लोबल सेक्शंस फंक्टर के राइट डिराइव्ड फंक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है। होमोलॉजिकल अलजेब्रा से यह अमूर्त परिभाषा एक मजबूत कम्प्यूटेशनल और सैद्धांतिक ढांचा प्रदान करती है।

व्यवहार में, [latex]H^1(X, mathcal{F})[/latex] अक्सर कुछ ज्यामितीय वस्तुओं को वर्गीकृत करता है। उदाहरण के लिए, यदि [latex]mathcal{O}^*[/latex] गैर-लुप्त होने वाले नियमित फलनों का शफ़ है, तो [latex]H^1(X, mathcal{O}^*)[/latex] स्कीम [latex]X[/latex] पर लाइन बंडलों को वर्गीकृत करता है। कोहोमोलॉगी समूहों के लुप्त होने के मजबूत ज्यामितीय परिणाम होते हैं; उदाहरण के लिए, कोडाइरा का लुप्त होने का प्रमेय बताता है कि शून्य अभिलक्षणिका में एक प्रक्षेप्य विविधता पर पर्याप्त लाइन बंडलों के लिए, कुछ कोहोमोलॉगी समूह शून्य होते हैं, जिसका विविधता की ज्यामिति पर गहरा प्रभाव पड़ता है। सेरे के FAC पेपर और ग्रोथेंडिक के तोहोकू पेपर ने शफ़ कोहोमोलॉगी को बीजगणितीय ज्यामिति के लिए सही भाषा के रूप में स्थापित किया, जिससे पुरानी, ​​अधिक तदर्थ विधियों का स्थान ले लिया गया।

UNESCO Nomenclature: 1105
ज्यामिति

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

क्रांतिकारी

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • शीफ सिद्धांत (जीन लेरे)
  • समरूपी बीजगणित (कार्टन, आइलेनबर्ग)
  • अवकल ज्यामिति में डी रहम कोहोमोलजी
  • बीजीय टोपोलॉजी (सिम्प्लिसियल और सिंगुलर होमोलॉजी)
  • चेक कोहोमोलॉगी

आवेदन

  • रीमैन-रोच प्रमेय का सामान्यीकरण (हिरज़ेब्रुच-रीमैन-रोच)
  • स्ट्रिंग सिद्धांत और सैद्धांतिक भौतिकी (अवस्थाओं और विसंगतियों की गणना)
  • वेल अनुमानों (डेलिग्ने) का प्रमाण
  • वेक्टर बंडलों और अन्य ज्यामितीय वस्तुओं का वर्गीकरण
  • विरूपण सिद्धांत (ज्यामितीय वस्तुओं में परिवर्तन कैसे किया जा सकता है, इसका अध्ययन)

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

  • डेटा संगति को कोहोमोलॉगी समस्या के रूप में मानकर वितरित कंप्यूटिंग प्रणालियों के लिए मजबूत त्रुटि सुधार।
  • ai for generating novel musical compositions by analyzing the ‘global structure’ of musical styles
  • जटिल, बहु-स्तरीय विशेषताओं की पहचान के लिए स्थलाकृतिक डेटा विश्लेषण में नई विधियाँ
  • औपचारिक सत्यापन frameworks for ensuring the security of complex software protocols
  • तंत्रिका विज्ञान में ऐसे मॉडल जो यह समझाते हैं कि स्थानीय तंत्रिका गतिविधि वैश्विक चेतना में कैसे एकीकृत होती है।
  • नवीन ज्यामितीय स्थानों पर आधारित क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
  • आंशिक, अतिव्यापी 2डी स्कैन से 3डी वस्तुओं के पुनर्निर्माण के लिए एल्गोरिदम
  • प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण models that better understand long-range dependencies and context in texts
संबंधित विषय: शीफ कोहोमोलॉगी, शीफ, व्युत्पन्न फनक्टर, वैश्विक खंड, अवरोध, चेच कोहोमोलॉगी, सेरे, ग्रोटेंडिक।

ऐतिहासिक संदर्भ

Desk of a 19th-century mathematician with prime factorization book and tools.

एक पूर्णांक का प्रामाणिक निरूपण

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...
Study room of mathematicians Cauchy and Kovalevski with analysis books and equations.

कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।
19th century study room of Kurt Hensel focused on p-adic numbers and number theory.

पी-एडिक संख्याएँ

किसी अभाज्य संख्या p के लिए, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक विस्तार बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं से टोपोलॉजिकली भिन्न होती हैं। जहाँ वास्तविक संख्याएँ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, वहीं p-एडिक संख्याएँ p-एडिक मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, जहाँ संख्याएँ "छोटी" कहलाती हैं यदि वे p की उच्च घात से विभाज्य हों।

शीफ कोहोमोलॉगी

1850
1875
1897
1950
1844
1874
1893
1900
Mathematician studying transcendental numbers in a historical study.

पारलौकिक संख्याएँ

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।
19th-century mathematician studying countability of rational numbers in an office.

परिमेय संख्याओं की गणनीयता

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।
19th-century mathematician deriving Hilbert's Nullstellensatz in an academic setting.

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ ("शून्य का प्रमेय")

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ (जर्मन में "शून्य का प्रमेय") ज्यामिति और बीजगणित के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है। यह बताता है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, यदि एक बहुपद p किसी आदर्श I के शून्य-सेट पर शून्य हो जाता है, तो p की कोई घात I से संबंधित होनी चाहिए। औपचारिक रूप से, I(V(I)) = √I, जो I का मूल है।
Mathematician analyzing polynomials related to affine varieties in an office.

एफाइन वैरायटी

एक एफाइन वैरायटी, एफाइन स्पेस में स्थित उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक, परिमित बहुपदों के समूह के उभयनिष्ठ शून्य होते हैं। बहुपदों के समूह [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] के लिए, जो एक बहुपद वलय [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] में स्थित है, संगत एफाइन वैरायटी [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex] है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक प्रमुख विषय है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

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