Le principe de Cavalieri

La preuve directe est une méthode qui consiste à démontrer la véracité d'une affirmation donnée en combinant simplement des faits établis, généralement des axiomes, des définitions et des théorèmes déjà prouvés. Pour prouver une affirmation conditionnelle [latex]p \rightarrow q[/latex], on suppose que [latex]p[/latex] est vrai et on utilise des règles d'inférence pour montrer que [latex]q[/latex] doit également être vrai.

La preuve par contradiction, ou reductio ad absurdum, est une forme de preuve indirecte. Elle établit la véracité d'une proposition en montrant que le fait de supposer que cette proposition est fausse conduit à une contradiction logique. Pour prouver une proposition [latex]p[/latex], on suppose sa négation, [latex]\neg p[/latex], et on en déduit une contradiction, telle que [latex]q \land \neg q[/latex], concluant ainsi que [latex]p[/latex] doit être vraie.

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que la surface du carré dont le côté est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égale à la somme des surfaces des carrés des deux autres côtés. La formule s'exprime comme suit : [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Le théorème de Pythagore fournit la base de la formule de distance en coordonnées cartésiennes. La distance [latex]d[/latex] entre deux points [latex](x_1, y_1)[/latex] et [latex](x_2, y_2)[/latex] dans un plan est donnée par [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Cette formule est une application directe du théorème à un triangle rectangle dont les côtés sont les différences entre les coordonnées x et y.

Il s'agit d'un problème historique important en mathématiques. Sa résolution négative par Leonhard Euler en 1736 a jeté les bases de la théorie des graphes et préfiguré l'idée de topologie. Le problème demandait si les sept ponts de la ville de Königsberg pouvaient tous être traversés en un seul voyage sans revenir sur ses pas, le voyage se terminant sur la même masse terrestre qu'au départ.

Théorème fondamental en topologie et en géométrie stipulant que pour tout polyèdre convexe, le nombre de sommets (V), d'arêtes (E) et de faces (F) est lié par la formule [latex]V - E + F = 2[/latex]. Cette valeur, 2, est la caractéristique d'Euler d'une sphère, révélant une propriété topologique profonde indépendante de la forme spécifique du polyèdre.

Un triplet pythagoricien est constitué de trois nombres entiers positifs a, b et c, tels que [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]. Un exemple bien connu est (3, 4, 5). La formule d'Euclide est une méthode fondamentale pour générer ces triplets. Étant donnés deux nombres entiers positifs m et n tels que [latex]m > n[/latex], la formule [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] génère un triplet pythagoricien.

Les solides de Platon sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes : un polyèdre régulier a des faces polygonales régulières congruentes et le même nombre de faces se rencontrant à chaque sommet. Les cinq solides sont le tétraèdre (4 faces), le cube (6 faces), l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre (12 faces) et l'icosaèdre (20 faces). Leur symétrie et leurs propriétés ont été étudiées depuis l'Antiquité.

La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut être exprimé sous la forme d'un rapport entre deux nombres entiers [latex]p/q[/latex]. La preuve classique, souvent attribuée aux pythagoriciens, est une preuve par contradiction : elle suppose que [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] est irréductible, ce qui conduit à la conclusion que [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] doivent être tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse initiale.

Le théorème de Ptolémée fournit une élégante démonstration géométrique des formules de somme et de différence en trigonométrie. En inscrivant un quadrilatère dans un cercle dont un côté est le diamètre, les longueurs des côtés peuvent être exprimées sous forme de sinus et de cosinus des angles inscrits. L'application du théorème [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] donne directement des identités telles que [latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

Le système de coordonnées cartésiennes fournit un modèle algébrique pour la géométrie euclidienne. Il utilise un ou plusieurs nombres, ou coordonnées, pour déterminer de manière unique la position d'un point dans l'espace. Dans un plan, deux droites perpendiculaires (l'axe des x et l'axe des y) sont utilisées, ce qui permet de décrire des formes géométriques par des équations algébriques. Cette fusion de l'algèbre et de la géométrie est appelée géométrie analytique.

L'induction mathématique est une technique utilisée pour prouver qu'une propriété [latex]P(n)[/latex] est valable pour chaque nombre naturel [latex]n[/latex]. Elle comprend deux étapes : le cas de base, qui consiste à prouver que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] est vrai, et l'étape inductive, qui consiste à prouver que si [latex]P(k)[/latex] est vrai pour un certain nombre naturel [latex]k[/latex] (l'hypothèse d'induction), alors [latex]P(k+1)[/latex] est également vrai.

Équation différentielle partielle hyperbolique linéaire du second ordre qui régit la propagation de divers types d'ondes. Dans sa forme la plus simple, elle s'écrit [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est l'amplitude de l'onde, [latex]c[/latex] est la vitesse de l'onde, et [latex]\nabla^2[/latex] est l'opérateur de Laplace. Il modélise des phénomènes tels que les cordes vibrantes, les ondes sonores et les ondes lumineuses.

La caractéristique d'Euler est un invariant topologique, un nombre qui décrit la structure ou la forme d'un espace topologique indépendamment de la façon dont il est plié. Pour les polyèdres, elle est définie par la formule [latex]\chi = V - E + F[/latex], où V, E et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces. Pour une sphère, [latex]\chi = 2[/latex], tandis que pour un tore, [latex]\chi = 0[/latex].