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कैवलियरी का सिद्धांत

1635
  • Bonaventura Cavalieri
Mathematical derivation of Cavalieri's Principle with geometric shapes in a historical study setting.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

Also known as the तरीका of indivisibles, this principle states that if two solids lying between two parallel planes have the property that every plane parallel to the two given planes intersects them in cross-sections of equal area, then the two solids have equal volumes. It provides a powerful method for calculating volumes of complex shapes without calculus.

कैवेलियरी का सिद्धांत त्रि-आयामी वस्तुओं के आयतन को निर्धारित करने का एक सरल और सहज तरीका प्रदान करता है। यह किसी ठोस को अनंत संख्या में अत्यंत पतले अनुप्रस्थ काटों, या "अविभाज्य" भागों में विभाजित करने के विचार को औपचारिक रूप देता है। मूल विचार यह है कि यदि आपके पास दो ठोस हैं, और प्रत्येक संभव ऊँचाई के लिए, पहले ठोस का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल दूसरे ठोस के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के बराबर है, तो उनका कुल आयतन समान होना चाहिए। यह दो सिक्कों के ढेर की तुलना करने जैसा है; यदि एक ढेर में प्रत्येक सिक्के का क्षेत्रफल दूसरे ढेर में संबंधित सिक्के के क्षेत्रफल के बराबर है, तो धातु का कुल आयतन समान होगा, चाहे ढेर किसी भी तरह से तिरछे रखे हों या व्यवस्थित हों।

इस सिद्धांत का एक उत्कृष्ट अनुप्रयोग गोले का आयतन ज्ञात करना है। त्रिज्या r वाले एक अर्धगोले पर विचार करें। आधार से h ऊँचाई पर इसका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल एक वृत्त है जिसका क्षेत्रफल A = π(r²)² है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, h² + (r²)² = r², अतः (r²)² = r² - h²। इस प्रकार, क्षेत्रफल A = π(r² - h²) है। अब, त्रिज्या r और ऊँचाई r वाले एक बेलन पर विचार करें, जिसके केंद्र से समान त्रिज्या और ऊँचाई का एक उल्टा शंकु हटा दिया गया है। ऊंचाई [latex]h[/latex] पर इस आकृति का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बड़े वृत्त (बेलन से) का क्षेत्रफल माइनस छोटे वृत्त (शंकु से) का क्षेत्रफल है। इससे [latex]A = pi r^2 – pi h^2 = pi(r^2 – h^2)[/latex] प्राप्त होता है।

Since the cross-sectional areas are identical at every height [latex]h[/latex], Cavalieri’s principle states that the volume of the hemisphere is equal to the volume of the cylinder-minus-cone shape. The volume of the cylinder is [latex]\pi r^2 \cdot r = \pi r^3[/latex], and the volume of the cone is [latex]\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3}\pi r^3[/latex]. Therefore, the hemisphere’s volume is [latex]\pi r^3 – \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3[/latex]. The volume of the full sphere is twice this, or [latex]\frac{4}{3}\pi r^3[/latex]. This method, developed by Bonaventura Cavalieri in the 17th century, was a significant step towards the development of integral calculus by Newton and Leibniz.

UNESCO Nomenclature: 1204
ज्यामिति

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

संतोषजनक

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • आर्किमिडीज की थकावट विधि
  • पांचवीं शताब्दी के चीन में ज़ू गेंगज़ी द्वारा गोले के आयतन की गणना पर किया गया कार्य।
  • प्रारंभिक गणित में अतिसूक्ष्म संख्याओं की अवधारणा

आवेदन

  • गोले का आयतन ज्ञात करना
  • शंकुओं और पिरामिडों के आयतन का सूत्र व्युत्पन्न करना
  • समाकलन कैलकुलस (एक पूर्ववर्ती अवधारणा के रूप में)
  • आयतन मापन के लिए कंप्यूटर टोमोग्राफी (सीटी) स्कैन विश्लेषण
  • भू-तकनीकी अभियांत्रिकी द्वारा मिट्टी के काम की मात्रा का अनुमान लगाना

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

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संबंधित विषय: कैवेलियरी का सिद्धांत, अविभाज्य विधि, आयतन गणना, समाकलन कलन, अनुप्रस्थ काट, गोले का आयतन, ठोस ज्यामिति, बेलन।

ऐतिहासिक संदर्भ

Scholar writing direct proof in ancient library, mathematical logic discipline.

प्रत्यक्ष प्रमाण (गणित)

प्रत्यक्ष प्रमाण किसी दिए गए कथन की सत्यता को स्थापित तथ्यों, आमतौर पर स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पूर्व सिद्ध प्रमेयों के सीधे संयोजन द्वारा सिद्ध करने की विधि है। किसी सशर्त कथन [latex]p rightarrow q[/latex] को सिद्ध करने के लिए, यह मान लिया जाता है कि [latex]p[/latex] सत्य है और अनुमान के नियमों का उपयोग करके यह दिखाया जाता है कि [latex]q[/latex] भी सत्य होना चाहिए।
Scholar engaged in proof by contradiction in an ancient library setting.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (बेतुकेपन की स्थिति तक सीमित करना)

विरोधाभास द्वारा प्रमाण, या रिडक्टियो एड एब्सर्डम, अप्रत्यक्ष प्रमाण का एक रूप है। यह किसी कथन की सत्यता को यह दर्शाकर स्थापित करता है कि किसी कथन को असत्य मानने से तार्किक विरोधाभास उत्पन्न होता है। किसी कथन p को सिद्ध करने के लिए, उसके निषेध, ऋणात्मक p को माना जाता है और q और ऋणात्मक q जैसे विरोधाभास को निकाला जाता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि p सत्य होना चाहिए।
ज्यामिति में पाइथागोरस प्रमेय को दर्शाता हुआ समकोण त्रिभुज।.

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।

कैवलियरी का सिद्धांत

यूक्लिडियन दूरी की गणनाओं और ऐतिहासिक संदर्भ के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति कार्यक्षेत्र।.

यूक्लिडियन दूरी

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।
कोनिग्सबर्ग पुल समस्या का मानचित्र जो यूलर के ग्राफ सिद्धांत की नींव को दर्शाता है।.

कोनिग्सबर्ग के सात पुल

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।
गणितज्ञ की मेज़, यूलर का बहुफलक सूत्र और ज्यामितीय उपकरणों सहित, 18वीं सदी।.

यूलर का बहुफलक सूत्र

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।
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Euclid of Alexandria deriving Pythagorean triples in an ancient study.

पाइथागोरस त्रिक

पाइथागोरस त्रिक में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b और c होते हैं, इस प्रकार कि [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]। इसका एक प्रसिद्ध उदाहरण (3, 4, 5) है। यूक्लिड का सूत्र इन त्रिकों को उत्पन्न करने की एक मूलभूत विधि है। किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांक m और n के लिए, जहाँ [latex]m > n[/latex], सूत्र [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] एक पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करता है।
Five Platonic solids: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron in geometry.

पाँच प्लेटोनिक ठोस

प्लेटोनिक ठोस पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं: एक नियमित बहुफलक में सर्वांगसम नियमित बहुभुजीय फलक होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में फलक मिलते हैं। ये पाँच ठोस हैं: चतुष्फलक (4 फलक), घन (6 फलक), अष्टफलक (8 फलक), द्वादशफलक (12 फलक) और विंशफलक (20 फलक)। इनकी समरूपता और गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया जा रहा है।
Stone tablet inscribed with the proof of the irrationality of the square root of 2.

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका प्रचलित प्रमाण, जिसे अक्सर पाइथागोरसवादियों से जोड़ा जाता है, विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जाता है: यह सबसे सरल रूप में [latex]√2 = p/q[/latex] मानता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि [latex]p[/latex] और [latex]q[/latex] दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए, जो प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।
ट्रिगोनोमेट्रिक पहचानों के लिए ज्यामितीय आरेखों सहित टोलेमी प्रमेय को दर्शाता प्राचीन पांडुलिपि।.

टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।
व्यावसायिक कार्यालय परिवेश में विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली का मॉडल।.

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।
गणितज्ञ द्वारा गणितीय अनुवर्तन का उपयोग करके गुणों को सिद्ध करते हुए अध्ययन कक्ष।.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।
जीन ले रोंड डालेम्बर्ट एक ऐतिहासिक कार्यालयीन परिवेश में तरंग समीकरण का विकास करते हुए।.

तरंग समीकरण (भौतिकी)

यह द्वितीय क्रम का रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] लाप्लास प्रवर्तक है। यह कंपनशील तार, ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें जैसी घटनाओं का प्रतिरूपण करता है।
यूलेर विशेषता सूत्र, कलम, स्याही और पार्चमेंट वाला गणितज्ञ का डेस्क।.

यूलर विशेषता

यूलर अभिलक्षणिका एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयता है, एक संख्या जो किसी टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना या आकार का वर्णन करती है, चाहे उसे किसी भी तरह से मोड़ा जाए। बहुफलकों के लिए, इसे सूत्र [latex]chi = V - E + F[/latex] द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ V, E और F क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। गोले के लिए, [latex]chi = 2[/latex], जबकि टोरस के लिए, [latex]chi = 0[/latex]।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

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