Preuve directe (mathématiques)

Les cinq postulats d'Euclide constituent la base axiomatique de la géométrie euclidienne telle que décrite dans son traité « Éléments ». Ce sont des hypothèses fondamentales dont découlent logiquement tous les autres théorèmes. Les quatre premiers concernent la construction des droites et des cercles, tandis que le cinquième, le postulat des parallèles, définit de manière unique la nature plane et non courbe de l'espace euclidien. Ces axiomes ont établi la méthode déductive en mathématiques.

Un théorème fondamental de la géométrie euclidienne stipule que la somme des mesures des trois angles intérieurs d'un triangle est toujours égale à deux angles droits, soit 180 degrés. Cette propriété, [latex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/latex], est une conséquence directe du postulat des parallèles et s'applique à tous les triangles, quelles que soient leur taille ou leur forme, dans un plan plat euclidien.

La preuve par contradiction, ou reductio ad absurdum, est une forme de preuve indirecte. Elle établit la véracité d'une proposition en montrant que le fait de supposer que cette proposition est fausse conduit à une contradiction logique. Pour prouver une proposition [latex]p[/latex], on suppose sa négation, [latex]\neg p[/latex], et on en déduit une contradiction, telle que [latex]q \land \neg q[/latex], concluant ainsi que [latex]p[/latex] doit être vraie.

Le théorème de Pythagore est une relation fondamentale de la géométrie euclidienne entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Il stipule que la surface du carré dont le côté est l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égale à la somme des surfaces des carrés des deux autres côtés. La formule s'exprime comme suit : [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Également connu sous le nom de méthode des indivisibles, ce principe stipule que si deux solides situés entre deux plans parallèles ont la propriété que chaque plan parallèle aux deux plans donnés les coupe en sections de même surface, alors les deux solides ont des volumes égaux. Il s'agit d'une méthode puissante pour calculer les volumes de formes complexes sans avoir recours au calcul.

Le théorème de Pythagore fournit la base de la formule de distance en coordonnées cartésiennes. La distance [latex]d[/latex] entre deux points [latex](x_1, y_1)[/latex] et [latex](x_2, y_2)[/latex] dans un plan est donnée par [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Cette formule est une application directe du théorème à un triangle rectangle dont les côtés sont les différences entre les coordonnées x et y.

Il s'agit d'un problème historique important en mathématiques. Sa résolution négative par Leonhard Euler en 1736 a jeté les bases de la théorie des graphes et préfiguré l'idée de topologie. Le problème demandait si les sept ponts de la ville de Königsberg pouvaient tous être traversés en un seul voyage sans revenir sur ses pas, le voyage se terminant sur la même masse terrestre qu'au départ.

Le cinquième postulat d'Euclide, le postulat des parallèles, est l'axiome qui définit la géométrie euclidienne : il stipule que si une ligne coupe deux autres lignes et que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits ([latex]\alpha + \beta < 180^\circ[/latex]), alors les deux lignes finiront par se croiser de ce côté. Ce postulat garantit l'existence d'une seule droite parallèle passant par un point qui n'est pas situé sur une droite donnée.

Un triplet pythagoricien est constitué de trois nombres entiers positifs a, b et c, tels que [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]. Un exemple bien connu est (3, 4, 5). La formule d'Euclide est une méthode fondamentale pour générer ces triplets. Étant donnés deux nombres entiers positifs m et n tels que [latex]m > n[/latex], la formule [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] génère un triplet pythagoricien.

Les solides de Platon sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes : un polyèdre régulier a des faces polygonales régulières congruentes et le même nombre de faces se rencontrant à chaque sommet. Les cinq solides sont le tétraèdre (4 faces), le cube (6 faces), l'octaèdre (8 faces), le dodécaèdre (12 faces) et l'icosaèdre (20 faces). Leur symétrie et leurs propriétés ont été étudiées depuis l'Antiquité.

La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il ne peut être exprimé sous la forme d'un rapport entre deux nombres entiers [latex]p/q[/latex]. La preuve classique, souvent attribuée aux pythagoriciens, est une preuve par contradiction : elle suppose que [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] est irréductible, ce qui conduit à la conclusion que [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] doivent être tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse initiale.

Le théorème de Ptolémée fournit une élégante démonstration géométrique des formules de somme et de différence en trigonométrie. En inscrivant un quadrilatère dans un cercle dont un côté est le diamètre, les longueurs des côtés peuvent être exprimées sous forme de sinus et de cosinus des angles inscrits. L'application du théorème [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] donne directement des identités telles que [latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

Le système de coordonnées cartésiennes fournit un modèle algébrique pour la géométrie euclidienne. Il utilise un ou plusieurs nombres, ou coordonnées, pour déterminer de manière unique la position d'un point dans l'espace. Dans un plan, deux droites perpendiculaires (l'axe des x et l'axe des y) sont utilisées, ce qui permet de décrire des formes géométriques par des équations algébriques. Cette fusion de l'algèbre et de la géométrie est appelée géométrie analytique.

L'induction mathématique est une technique utilisée pour prouver qu'une propriété [latex]P(n)[/latex] est valable pour chaque nombre naturel [latex]n[/latex]. Elle comprend deux étapes : le cas de base, qui consiste à prouver que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] est vrai, et l'étape inductive, qui consiste à prouver que si [latex]P(k)[/latex] est vrai pour un certain nombre naturel [latex]k[/latex] (l'hypothèse d'induction), alors [latex]P(k+1)[/latex] est également vrai.