Finite-Elemente-Methode

Die Riemannsche Geometrie ist der Zweig der Differentialgeometrie, der sich mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten befasst – glatten Mannigfaltigkeiten mit einer Riemannschen Metrik. Diese Metrik ist eine Sammlung von inneren Produkten auf den Tangentialräumen, die von Punkt zu Punkt gleichmäßig variieren. Sie ermöglicht die Definition lokaler geometrischer Begriffe wie Winkel, Kurvenlänge, Oberfläche und Volumen, was zu einem verallgemeinerten Krümmungsbegriff führt.

Ein Homöomorphismus ist eine stetige Funktion zwischen zwei topologischen Räumen, die eine stetige Umkehrfunktion hat. Zwei topologische Räume werden als homöomorph bezeichnet, wenn eine solche Funktion existiert. Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch. Hinter diesem Begriff verbirgt sich die Vorstellung, dass ein Objekt in ein anderes gestreckt, gebogen oder verformt werden kann, ohne zu zerreißen oder zu verkleben, wie ein Kaffeebecher in einen Donut.

Ein topologischer Raum ist ein geordnetes Paar [latex](X, \tau)[/latex], wobei [latex]X[/latex] eine Menge und [latex]\tau[/latex] eine Sammlung von Teilmengen von [latex]X[/latex], so genannte offene Mengen, ist, die drei Axiome erfüllen: 1) Die leere Menge [latex]\emptyset[/latex] und [latex]X[/latex] selbst sind in [latex]\tau[/latex]. 2) Die Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen in [latex]\tau[/latex] ist auch in [latex]\tau[/latex]. 3) Die Schnittmenge einer beliebigen endlichen Anzahl von Mengen in [latex]\tau[/latex] ist auch in [latex]\tau[/latex].

Die Verifizierungstechniken werden allgemein als statisch oder dynamisch klassifiziert. Bei der statischen Überprüfung (oder statischen Analyse) wird der Code oder das Design des Systems untersucht, ohne es auszuführen. Beispiele hierfür sind Code-Reviews, Inspektionen und automatische statische Analysetools. Bei der dynamischen Überprüfung (oder dem Testen) wird das System mit einer Reihe von Eingaben ausgeführt und sein Verhalten beobachtet, um Fehler zu finden. Beide Verfahren ergänzen sich für eine umfassende Qualitätssicherung.

Verifizierung und Validierung (V&V) sind zwei unterschiedliche Prozesse. Die Verifizierung stellt sicher, dass ein Produkt die spezifizierten Anforderungen erfüllt ("Bauen Sie es richtig?"). Die Validierung stellt sicher, dass das Produkt den tatsächlichen Bedürfnissen und der beabsichtigten Verwendung des Benutzers entspricht ("Bauen Sie das richtige Produkt?"). Es handelt sich um sich ergänzende Aktivitäten im Rahmen des Qualitätsmanagements, die oft nacheinander oder parallel durchgeführt werden, um sowohl die Korrektheit als auch die Nützlichkeit zu gewährleisten.

Die Wiederholbarkeitsgrenze, [latex]r[/latex], ist ein kritischer Wert, der von der Wiederholbarkeitsstandardabweichung ([latex]s_r[/latex]) abgeleitet ist. Sie stellt die maximal zu erwartende absolute Differenz zwischen zwei einzelnen Prüfergebnissen dar, die unter Wiederholbarkeitsbedingungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erzielt werden. Sie wird üblicherweise berechnet als [latex]r = 2,8 \mal s_r[/latex]. Wenn die Differenz [latex]r[/latex] übersteigt, gelten die Ergebnisse als verdächtig.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum lokal ähnlich ist und die Anwendung der Infinitesimalrechnung ermöglicht. Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von [latex]\mathbb{R}^n[/latex] ist. Diese lokalen Koordinatensysteme, Diagramme genannt, sind durch glatte Übergangsfunktionen miteinander verbunden und bilden einen Atlas, der die differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit definiert.

Die digitale Elektronik basiert auf der Booleschen Algebra, einem von George Boole eingeführten mathematischen System der Logik. Sie verwendet zwei Werte, in der Regel 0 und 1 (oder falsch und wahr), und drei Grundoperationen: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion) und NICHT (Negation). Diese Operationen entsprechen direkt den Logikgattern, die die Bausteine aller digitalen Schaltungen bilden.

Dieses Theorem besagt, dass es für jede stetige Funktion [latex]f[/latex], die eine kompakte konvexe Menge auf sich selbst abbildet, einen Punkt [latex]x_0[/latex] gibt, für den gilt: [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Diesen Punkt nennt man einen Fixpunkt. Nimmt man eine Landkarte eines Landes, zerknüllt sie und platziert sie innerhalb der Landesgrenzen, so gibt es immer mindestens einen Punkt auf der Karte, der direkt über dem entsprechenden realen Punkt liegt.

Die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL) ist ein notwendiges Stabilitätskriterium für numerische Lösungen von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen mit expliziten Zeitintegrationsverfahren. Sie besagt, dass die Zeitschrittweite so klein sein muss, dass die Information nicht weiter als eine räumliche Gitterzelle pro Zeitschritt wandert. Für einen 1D-Fall ist [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex], was die numerische Stabilität gewährleistet.

Die Zuverlässigkeitsfunktion R(t) definiert die Wahrscheinlichkeit, dass ein System oder ein Bauteil seine geforderte Funktion für eine bestimmte Zeit "t" ohne Ausfall erfüllt. Für Systeme mit einer konstanten Ausfallrate (λ) wird sie durch die Exponentialverteilung beschrieben: [latex]R(t) = e^{-\lambda t}[/latex]. Diese Funktion ist grundlegend für die Vorhersage der Langlebigkeit und Leistung eines Produkts.

Die Finite-Volumen-Methode (FVM) ist ein gängiges numerisches Verfahren in der CFD zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Dabei wird der Definitionsbereich in ein Netz von Kontrollvolumina diskretisiert und die zugrundeliegenden Gleichungen in ihrer Integralform auf jedes Volumen angewendet. Durch die Umwandlung von Volumenintegralen in Oberflächenintegrale mithilfe des Divergenztheorems konzentriert sich die Methode auf die Berechnung des Flusses konservierter Eigenschaften über Zellflächen.

Unter formaler Verifikation versteht man den Einsatz mathematischer Methoden, um die Korrektheit des Entwurfs eines Systems in Bezug auf eine formale Spezifikation zu beweisen oder zu widerlegen. Im Gegensatz zum Testen, das nur das Vorhandensein von Fehlern für bestimmte Eingaben nachweisen kann, kann die formale Verifikation das Fehlen von Fehlern für alle möglichen Eingaben beweisen. Sie umfasst die Erstellung eines formalen Modells des Systems und die Anwendung von Techniken wie Model Checking oder Theorem Proving.

Signal detection is the process of identifying potential causal relationships between a drug and an adverse event from large datasets, typically spontaneous reporting systems. It uses statistical methods, known as disproportionality analysis, to find drug-event combinations reported more frequently than expected. A common measure is the Reporting Odds Ratio (ROR), a value greater than one suggesting a potential signal that requires further investigation.