Eulersche Polyederformel

Die platonischen Körper sind die einzigen fünf konvexen regelmäßigen Polyeder: Ein regelmäßiges Polyeder hat kongruente regelmäßige polygonale Flächen und die gleiche Anzahl von Flächen, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Die fünf Körper sind das Tetraeder (4 Flächen), der Würfel (6 Flächen), das Oktaeder (8 Flächen), das Dodekaeder (12 Flächen) und das Ikosaeder (20 Flächen). Ihre Symmetrie und ihre Eigenschaften werden seit dem Altertum untersucht.

Dieses auch als Methode der Unteilbarkeiten bekannte Prinzip besagt, dass zwei Körper, die zwischen zwei parallelen Ebenen liegen, die Eigenschaft haben, dass jede zu den beiden gegebenen Ebenen parallele Ebene sie in Querschnitten gleicher Fläche schneidet, dann haben die beiden Körper gleiche Volumina. Es bietet eine leistungsfähige Methode zur Berechnung der Volumina komplexer Formen ohne Rechenaufwand.

Dies ist ein historisch bemerkenswertes Problem in der Mathematik. Seine negative Lösung durch Leonhard Euler im Jahr 1736 legte den Grundstein für die Graphentheorie und nahm die Idee der Topologie vorweg. Es ging um die Frage, ob die sieben Brücken der Stadt Königsberg in einer einzigen Fahrt ohne Umweg überquert werden können, wobei die Fahrt auf derselben Landmasse endet, auf der sie beginnt.

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

A standard approach for approximating solutions to overdetermined systems by finding model parameters that minimize the sum of the squared differences between observed and predicted values. This sum is known as the sum of squared residuals (SSR). The goal is to find the parameters [latex]\hat{\beta}[/latex] that minimize the function [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Das Theorema Egregium (lateinisch für "bemerkenswerter Satz") besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet, dass sie nur davon abhängt, wie Abstände auf der Oberfläche selbst gemessen werden, und nicht davon, wie die Oberfläche in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Ein flaches Blatt Papier kann zu einem Zylinder gerollt werden, aber nicht zu einer Kugel, ohne es zu dehnen.

Ein fundamentaler Satz der euklidischen Geometrie besagt, dass die Summe der Maße der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks immer gleich zwei rechten Winkeln oder 180 Grad ist. Diese Eigenschaft, [latex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/latex], ist eine direkte Folge des Parallelitätspostulats und gilt für alle Dreiecke, unabhängig von ihrer Größe oder Form, in einer ebenen, euklidischen Ebene.

Der Satz des Pythagoras ist eine grundlegende Beziehung in der euklidischen Geometrie zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Er besagt, dass die Fläche des Quadrats, dessen Seite die Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate an den beiden anderen Seiten ist. Die Formel wird ausgedrückt als [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Das kartesische Koordinatensystem bietet ein algebraisches Modell für die euklidische Geometrie. Es verwendet eine oder mehrere Zahlen bzw. Koordinaten, um die Position eines Punktes im Raum eindeutig zu bestimmen. In einer Ebene werden zwei senkrecht zueinander stehende Linien (die x- und die y-Achse) verwendet, wodurch geometrische Formen durch algebraische Gleichungen beschrieben werden können. Diese Verschmelzung von Algebra und Geometrie wird als analytische Geometrie bezeichnet.

Eine lineare hyperbolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Ausbreitung verschiedener Arten von Wellen regelt. In ihrer einfachsten Form wird sie geschrieben als [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Amplitude der Welle, [latex]c[/latex] die Wellengeschwindigkeit und [latex]\nabla^2[/latex] der Laplace-Operator ist. Er modelliert Phänomene wie schwingende Saiten, Schallwellen und Lichtwellen.

Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante, eine Zahl, die die Struktur oder Form eines topologischen Raums beschreibt, unabhängig davon, wie er gekrümmt ist. Bei Polyedern wird sie durch die Formel [latex]\chi = V - E + F[/latex] definiert, wobei V, E und F die Anzahl der Ecken, Kanten bzw. Flächen sind. Für eine Kugel ist [latex]\chi = 2[/latex], für einen Torus ist [latex]\chi = 0[/latex].

Eine lineare elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Systeme in einem stationären Zustand oder im Gleichgewicht beschreibt. Sie wird geschrieben als [latex]nabla^2 u = 0[/latex] oder [latex]Delta u = 0[/latex], wobei [latex]nabla^2[/latex] (oder [latex]Delta[/latex]) der Laplace-Operator ist. Lösungen, so genannte harmonische Funktionen, sind die glattesten möglichen Funktionen und stellen Potenziale in Bereichen wie Elektrostatik, Gravitation und Flüssigkeitsströmung dar.

Eine grundlegende lineare parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Wärmeverteilung oder andere Diffusionsprozesse beschreibt. Ihre kanonische Form lautet [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Temperatur, [latex]t[/latex] die Zeit und [latex]\alpha[/latex] die Temperaturleitfähigkeit ist. Die Lösungen modellieren, wie sich eine anfängliche Temperaturverteilung entwickelt, indem sie Unregelmäßigkeiten im Laufe der Zeit ausgleichen und sich einem stabilen Zustand annähern.

Eine fundamentale Lösung eines linearen partiellen Differentialoperators [latex]L[/latex] ist eine Lösung der Gleichung [latex]Lu = delta(x)[/latex], wobei [latex]delta(x)[/latex] die Dirac-Delta-Funktion ist. Sie stellt die Reaktion des Systems auf eine Punktquelle oder einen Impuls dar. Ist die Lösung der inhomogenen Gleichung [latex]Lu = f(x)[/latex] bekannt, kann sie durch Faltung gefunden werden: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], wobei [latex]G[/latex] die Grundlösung ist.