笛卡尔坐标系

欧几里得的五大公设构成了欧几里得几何的公理基础，正如他在《几何原本》中所阐述的那样。它们是基本假设，所有其他定理都以此为逻辑推导基础。前四条公设涉及直线和圆的作图，而第五条公设，即平行公设，则唯一地定义了欧几里得空间的平坦、非弯曲性质。这些公设确立了数学中的演绎推理方法。

欧几里得第五公设，即平行公设，是定义欧几里得几何的公理：它指出，如果一条直线与另外两条直线相交，而其中一边的内角之和小于两个直角（[latex]\alpha + \beta < 180^\circ[/latex]），那么这两条直线最终会在这一边相交。这个公设保证了通过不在给定直线上的点的平行线是唯一的。

勾股定理是欧几里得几何中直角三角形三边之间的基本关系。它指出，边为斜边（直角对边）的正方形的面积等于其他两条边上的正方形面积之和。该公式表示为 [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]。

二阶线性双曲偏微分方程，用于控制各种波的传播。最简单的形式是 [latex]\frac\{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 是波的振幅，[latex]c[/latex] 是波速，[latex]\nabla^2[/latex] 是拉普拉斯算子。它是振动弦、声波和光波等现象的模型。

欧拉特性是一个拓扑不变量，是一个描述拓扑空间结构或形状的数字，与空间的弯曲方式无关。对于多面体，它由公式 [latex]\chi = V - E + F[/latex] 定义，其中 V、E 和 F 分别是顶点、边和面的数量。对于球面，[latex]\chi = 2[/latex]，而对于环面，[latex]\chi = 0[/latex]。

二阶线性椭圆偏微分方程，用于描述稳态或平衡条件下的系统。它被写成 [latex]nabla^2 u = 0[/latex] 或 [latex]Delta u = 0[/latex]，其中 [latex]nabla^2[/latex]（或 [latex]Delta[/latex]）是拉普拉斯算子。解称为谐函数，是最平滑的函数，代表静电、重力和流体流动等领域的电势。

Theorema Egregium（拉丁语，意为 "显著定理"）指出，曲面的高斯曲率是一种固有属性。这意味着它只取决于如何测量曲面本身的距离，而不取决于曲面如何嵌入三维空间。一张平纸在不拉伸的情况下可以卷成圆柱体，但不能卷成球体。

欧几里得几何中的一个基本定理指出，任何三角形的三个内角的度量之和总是等于两个直角，即 180 度。[latex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/latex]，这一性质是平行公设的直接结果，对于欧几里得平面内的所有三角形，无论其大小或形状如何，都是成立的。

柏拉图实体是仅有的五个凸正多面体：正多面体具有全等的正多边形面，每个顶点上有相同数目的面相交。这五种实体是四面体（4 个面）、立方体（6 个面）、八面体（8 个面）、十二面体（12 个面）和二十面体（20 个面）。自古以来，人们一直在研究它们的对称性和特性。

这一原理也被称为不等分方法，它指出，如果位于两个平行平面之间的两个固体具有这样的性质：与两个给定平面平行的每个平面与它们相交的截面面积相等，那么这两个固体的体积相等。它提供了一种无需微积分即可计算复杂形状体积的强大方法。

这是数学史上一个著名的问题。1736 年，莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）解决了这个问题，奠定了图论的基础，并预示了拓扑学的思想。这个问题问的是，哥尼斯堡市的七座桥是否可以在一次旅行中全部走完，而不需要折返两次，并且旅行的终点还是起点的同一陆地。

拓扑学和几何学中的一个基本定理，指出对于任何凸多面体，顶点数（V）、边数（E）和面数（F）的关系式为 [latex]V - E + F = 2[/latex]。这个值，即 2，是球体的欧拉特性，揭示了与多面体具体形状无关的深层拓扑特性。

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

描述热分布或其他扩散过程的基本二阶线性抛物线偏微分方程。其典型形式为 [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 为温度，[latex]t[/latex] 为时间，[latex]\alpha[/latex] 为热扩散率。解法模拟了初始温度分布的演变过程，随着时间的推移，不规则的温度分布逐渐平滑并接近稳定状态。