As Sete Pontes de Königsberg

O teorema de Pitágoras é uma relação fundamental na geometria euclidiana entre os três lados de um triângulo retângulo. Ele afirma que a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados dos outros dois lados. A fórmula é expressa como [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Também conhecido como método dos indivisíveis, este princípio afirma que se dois sólidos situados entre dois planos paralelos têm a propriedade de que todos os planos paralelos aos dois planos dados os intersectam em seções transversais de áreas iguais, então os dois sólidos têm volumes iguais. Ele fornece um método poderoso para calcular volumes de figuras complexas sem o uso de cálculo diferencial e integral.

O teorema de Pitágoras fornece a base para a fórmula da distância em coordenadas cartesianas. A distância [latex]d[/latex] entre dois pontos [latex](x_1, y_1)[/latex] e [latex](x_2, y_2)[/latex] em um plano é dada por [latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Esta fórmula é uma aplicação direta do teorema a um triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças entre as coordenadas x e y.

Um teorema fundamental em topologia e geometria afirma que, para qualquer poliedro convexo, o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F) estão relacionados pela fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Esse valor, 2, é a característica de Euler de uma esfera, revelando uma profunda propriedade topológica independente da forma específica do poliedro.

O teorema de Bayes descreve a probabilidade de um evento com base no conhecimento prévio de condições que podem estar relacionadas a esse evento. É um conceito fundamental na teoria da probabilidade e na estatística. Matematicamente, é expresso como [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], onde A e B são eventos e [latex]P(B) neq 0[/latex]. Ele relaciona as probabilidades condicionais e marginais de dois eventos aleatórios.

Uma equação diferencial parcial elíptica linear de segunda ordem que descreve sistemas em estado estacionário ou em equilíbrio. É escrita como ∇²u = 0 ou Δu = 0, onde ∇² (ou Δ) é o operador de Laplace. As soluções, chamadas funções harmônicas, são as funções mais suaves possíveis e representam potenciais em campos como eletrostática, gravitação e fluxo de fluidos.

A raiz quadrada de 2 é um número irracional, o que significa que não pode ser expressa como a razão entre dois inteiros [latex]p/q[/latex]. A demonstração clássica, frequentemente atribuída aos pitagóricos, é uma demonstração por contradição: assume-se que [latex]sqrt{2} = p/q[/latex] na forma irredutível, o que leva à conclusão de que tanto [latex]p[/latex] quanto [latex]q[/latex] devem ser pares, contradizendo a suposição inicial.

O teorema de Ptolomeu fornece uma demonstração geométrica elegante para as fórmulas de soma e diferença em trigonometria. Ao inscrever um quadrilátero em um círculo com um lado como diâmetro, os comprimentos dos lados podem ser expressos como senos e cossenos dos ângulos inscritos. Aplicando o teorema [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] diretamente, obtêm-se identidades como [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex].

O sistema de coordenadas cartesianas fornece um modelo algébrico para a geometria euclidiana. Ele utiliza um ou mais números, ou coordenadas, para determinar de forma única a posição de um ponto no espaço. Em um plano, são utilizadas duas linhas perpendiculares (o eixo x e o eixo y), permitindo que formas geométricas sejam descritas por equações algébricas. Essa fusão de álgebra e geometria é conhecida como geometria analítica.

A indução matemática é uma técnica usada para provar que uma propriedade [latex]P(n)[/latex] é válida para todo número natural [latex]n[/latex]. Ela envolve duas etapas: o caso base, provar que [latex]P(0)[/latex] ou [latex]P(1)[/latex] é verdadeira, e a etapa indutiva, provar que se [latex]P(k)[/latex] é verdadeira para algum número natural [latex]k[/latex] (a hipótese de indução), então [latex]P(k+1)[/latex] também é verdadeira.

Uma equação diferencial parcial hiperbólica linear de segunda ordem que rege a propagação de vários tipos de ondas. Em sua forma mais simples, é escrita como [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex], onde [latex]u(vec{x},t)[/latex] é a amplitude da onda, [latex]c[/latex] é a velocidade da onda e [latex]nabla^2[/latex] é o operador de Laplace. Ela modela fenômenos como cordas vibrantes, ondas sonoras e ondas de luz.

A característica de Euler é um invariante topológico, um número que descreve a estrutura ou forma de um espaço topológico, independentemente de como ele seja curvado. Para poliedros, ela é definida pela fórmula [latex]chi = V - E + F[/latex], onde V, E e F são o número de vértices, arestas e faces, respectivamente. Para uma esfera, [latex]chi = 2[/latex], enquanto para um toro, [latex]chi = 0[/latex].

Um dos primeiros problemas em probabilidade geométrica, é considerado um precursor do método de Monte Carlo. Consiste em deixar cair uma agulha de comprimento l sobre um piso com linhas paralelas separadas por uma distância t. A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é P = 2l/πt (para l ≤ t). Isso fornece um experimento físico para estimar π.

O teorema de Parseval relaciona a energia total de um sinal (a integral do seu quadrado ao longo de um período) com a soma dos quadrados das energias dos componentes da sua série de Fourier. Para uma função [latex]s(x)[/latex] com período [latex]P[/latex], o teorema afirma: [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], onde [latex]c_n[/latex] são os coeficientes complexos de Fourier.