メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムは、 MCMC 方法 直接サンプリングが困難な確率分布から、ランダムサンプルのシーケンスを取得するために用いられる。各反復処理において、現在のサンプルに基づいて次のサンプルの候補を生成する。この候補は一定の確率で受け入れられるか拒否され、結果として得られるチェーンが目的の分布に収束することを保証する。

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メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムは、 MCMC 方法 直接サンプリングが困難な確率分布から、ランダムサンプルのシーケンスを取得するために用いられる。各反復処理において、現在のサンプルに基づいて次のサンプルの候補を生成する。この候補は一定の確率で受け入れられるか拒否され、結果として得られるチェーンが目的の分布に収束することを保証する。
The algorithm works by constructing a Markov chain whose stationary distribution is the target distribution [latex]P(x)[/latex]. Let the current state be [latex]x_t[/latex]. First, a candidate state [latex]x'[/latex] is generated from a proposal distribution [latex]Q(x’|x_t)[/latex], which can be any distribution that is easy to sample from (e.g., a Gaussian centered at [latex]x_t[/latex]). Second, an acceptance probability [latex]\alpha(x’, x_t)[/latex] is calculated: [latex]\alpha(x’, x_t) = \min\left(1, \frac{P(x’)Q(x_t|x’)}{P(x_t)Q(x’|x_t)}\right)[/latex]. A random number [latex]u[/latex] is drawn from a uniform distribution on [latex][0, 1][/latex]. If [latex]u \le \alpha[/latex], the candidate is accepted, and the next state is set to [latex]x_{t+1} = x'[/latex]. Otherwise, the candidate is rejected, and the chain remains at the current state, [latex]x_{t+1} = x_t[/latex].
この受容率の優れた点は、比例定数を除いて [latex]P(x)[/latex] を知るだけでよいことです。これは、正規化定数が分数 [latex]frac{P(x’)}{P(x_t)}[/latex] で相殺されるためです。これは、事後分布が扱いにくい周辺尤度までしかわからないことが多いベイズ統計学において非常に重要です。オリジナルのメトロポリスアルゴリズム (1953 年) は、提案分布 [latex]Q[/latex] が対称である、つまり [latex]Q(x’|x_t) = Q(x_t|x’)[/latex] という特殊なケースであり、受容確率は [latex]minleft(1, frac{P(x’)}{P(x_t)}right)[/latex] に単純化されます。ヘイスティングスの1970年の一般化により、非対称な提案分布が可能になり、アルゴリズムの適用範囲と効率が大幅に拡大しました。
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メトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズム
(日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。)
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