(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम एक प्रमुख एमसीएमसी तरीका यह विधि किसी प्रायिकता वितरण से यादृच्छिक नमूनों का अनुक्रम प्राप्त करने के लिए है, जिसके लिए प्रत्यक्ष नमूनाकरण कठिन है। प्रत्येक पुनरावृति में, यह वर्तमान नमूने के आधार पर अगले नमूने के लिए एक संभावित उम्मीदवार उत्पन्न करती है। इस उम्मीदवार को एक निश्चित प्रायिकता के साथ स्वीकार या अस्वीकार किया जाता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि परिणामी श्रृंखला वांछित वितरण की ओर अभिसरित हो।
The algorithm works by constructing a Markov chain whose stationary distribution is the target distribution [latex]P(x)[/latex]. Let the current state be [latex]x_t[/latex]. First, a candidate state [latex]x'[/latex] is generated from a proposal distribution [latex]Q(x’|x_t)[/latex], which can be any distribution that is easy to sample from (e.g., a Gaussian centered at [latex]x_t[/latex]). Second, an acceptance probability [latex]\alpha(x’, x_t)[/latex] is calculated: [latex]\alpha(x’, x_t) = \min\left(1, \frac{P(x’)Q(x_t|x’)}{P(x_t)Q(x’|x_t)}\right)[/latex]. A random number [latex]u[/latex] is drawn from a uniform distribution on [latex][0, 1][/latex]. If [latex]u \le \alpha[/latex], the candidate is accepted, and the next state is set to [latex]x_{t+1} = x'[/latex]. Otherwise, the candidate is rejected, and the chain remains at the current state, [latex]x_{t+1} = x_t[/latex].
इस स्वीकृति अनुपात की खूबी यह है कि इसके लिए केवल आनुपातिकता के एक स्थिरांक तक [latex]P(x)[/latex] का ज्ञान होना आवश्यक है, क्योंकि कोई भी सामान्यीकरण स्थिरांक भिन्न [latex]frac{P(x’)}{P(x_t)}[/latex] में रद्द हो जाता है। यह बायेसियन सांख्यिकी में महत्वपूर्ण है, जहाँ पश्च वितरण अक्सर केवल असाध्य सीमांत संभावना तक ही ज्ञात होता है। मूल मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम (1953) एक विशेष मामला है जहाँ प्रस्ताव वितरण [latex]Q[/latex] सममित है, अर्थात्, [latex]Q(x’|x_t) = Q(x_t|x’)[/latex], स्वीकृति संभावना को [latex]minleft(1, frac{P(x’)}{P(x_t)}right)[/latex] तक सरल बनाता है। हेस्टिंग्स’ 1970 के सामान्यीकरण ने असममित प्रस्ताव वितरण की अनुमति दी, जिससे एल्गोरिदम की प्रयोज्यता और दक्षता में काफी विस्तार हुआ।
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मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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