(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
बोल्ट्ज़मैन वितरण उस प्रायिकता का वर्णन करता है कि तापमान T पर ऊष्मीय संतुलन में स्थित कोई प्रणाली ऊर्जा E वाले एक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था में होगी। यह प्रायिकता बोल्ट्ज़मैन गुणांक e⁻⁵E/kΔT के समानुपाती होती है। इसका तात्पर्य यह है कि कम ऊर्जा वाली अवस्थाओं के अधिभोगित होने की संभावना उच्च ऊर्जा वाली अवस्थाओं की तुलना में घातीय रूप से अधिक होती है, और तापमान इस वरीयता को नियंत्रित करता है।
बोल्ट्ज़मैन वितरण सांख्यिकीय यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत है और व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए संभवतः इसका सबसे उपयोगी परिणाम है। इसे एक बड़े ऊष्मा भंडार के साथ ऊष्मीय संपर्क में स्थित एक छोटे तंत्र पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है। संयुक्त तंत्र (तंत्र + भंडार) पृथक होता है, और भंडार पर बोल्ट्ज़मैन के एन्ट्रापी सिद्धांत ([latex]S = k_B ln W[/latex]) को लागू करके, छोटे तंत्र के लिए सबसे संभावित ऊर्जा वितरण ज्ञात किया जा सकता है। परिणाम यह है कि ऊर्जा [latex]E_i[/latex] के साथ अवस्था 'i' में तंत्र की प्रायिकता [latex]P_i propto e^{-E_i/k_B T}[/latex] है।
k₂T पद तापमान T पर उपलब्ध विशिष्ट ऊष्मीय ऊर्जा को दर्शाता है। E/k₂T का अनुपात आयामहीन है और प्रायिकता निर्धारित करता है। यदि किसी अवस्था की ऊर्जा E ऊष्मीय ऊर्जा से बहुत कम है (E ≤ k₂T), तो घातांक कारक 1 के निकट होता है, और उस अवस्था की प्रायिकता अत्यधिक होती है। यदि ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा से बहुत अधिक है (E ≤ k₂T), तो कारक बहुत कम होता है, और उस अवस्था के होने की संभावना बहुत कम होती है। यह घातांकीय निर्भरता कई घटनाओं के लिए जिम्मेदार है, जैसे कि तापमान के साथ रासायनिक अभिक्रियाओं की दर में तीव्र वृद्धि, क्योंकि अधिक अणुओं में आवश्यक सक्रियण ऊर्जा होती है।
बोल्ट्ज़मैन वितरण
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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