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हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ ("शून्य का प्रमेय")

1893
  • David Hilbert
19th-century mathematician deriving Hilbert's Nullstellensatz in an academic setting.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

Hilbert’s Nullstellensatz (German for “theorem of zeros”) establishes a fundamental correspondence between geometry and algebra. It states that for an algebraically closed field [latex]k[/latex], if a polynomial [latex]p[/latex] vanishes on the zero-set of an ideal [latex]I[/latex], then some power of [latex]p[/latex] करना ही होगा belong to [latex]I[/latex]. Formally, [latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex], the radical of [latex]I[/latex].

नलस्टेलेंसैट्ज़ वह आधारशिला है जो बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमय बीजगणित के बीच शब्दकोश को औपचारिक रूप देती है। यह कई रूपों में पाई जाती है, जिन्हें अक्सर "कमजोर" और "मजबूत" के रूप में भेदा जाता है। कमजोर रूप यह बताता है कि यदि k[x_1, x_n] में एक आदर्श I संपूर्ण वलय नहीं है (अर्थात, I ≤ (1)), तो इसकी विविधता V(I) रिक्त नहीं है। दूसरे शब्दों में, बहुपद समीकरणों की किसी भी गैर-तुच्छ प्रणाली का बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में एक हल होता है। सारांश में वर्णित मजबूत रूप, विविधता पर लुप्त होने वाले सभी फलनों के आदर्श का एक सटीक बीजगणितीय लक्षण वर्णन प्रदान करता है।

यह प्रमेय इस बात की गारंटी देता है कि एक विविधता [latex]V(I)[/latex] में निहित ज्यामितीय जानकारी उसके मूल आदर्श [latex]sqrt{I}[/latex] में मौजूद बीजगणितीय जानकारी द्वारा पूर्णतः समाहित होती है। यह पत्राचार समावेशन-उलट है: बड़े आदर्श छोटी विविधताओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, बहुपद वलय में अधिकतम आदर्श एफाइन स्पेस में एकल बिंदुओं के अनुरूप होते हैं। यह गहरा संबंध गणितज्ञों को बीजगणितीय तकनीकों, जैसे कि अभाज्य आदर्शों का अध्ययन और स्थानीयकरण, का उपयोग विविधताओं के आयाम, अपरिवर्तनीयता और विलक्षणता जैसे ज्यामितीय गुणों को समझने के लिए करने की अनुमति देता है। प्रमेय की बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र की आवश्यकता अनिवार्य है; उदाहरण के लिए, बहुपद [latex]x^2+1=0[/latex] का वास्तविक संख्याओं पर कोई हल नहीं है, इसलिए [latex]V(x^2+1)[/latex] खाली है, भले ही आदर्श [latex](x^2+1)[/latex] [latex]mathbb{R}[x][/latex] में उचित हो।

UNESCO Nomenclature: 1101
बीजगणित

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

क्रांतिकारी

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • आदर्श सिद्धांत (कुमेर, डेडेकाइंड)
  • बहुपद अपरिवर्तनीयताओं का सिद्धांत (गॉर्डन, केली)
  • उन्मूलन सिद्धांत पर प्रारंभिक कार्य
  • बीजीय रूप से बंद क्षेत्रों की अवधारणा (गॉस)

आवेदन

  • provides a bijective correspondence between affine varieties and radical ideals
  • आधुनिक योजना सिद्धांत की नींव
  • क्रमविनिमय बीजगणित में प्रमाणों का मुख्य उपकरण
  • यह कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति में एल्गोरिदम का आधार बनता है।
  • बहुपद प्रणालियों के लिए नियंत्रण सिद्धांत में प्रयुक्त

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

  • बहुपदीय बाधाओं से निपटने वाले सॉफ़्टवेयर के लिए स्वचालित सत्यापन प्रणाली
  • विभिन्नताओं पर बिंदुओं को खोजने की कठिनाई के आधार पर नए क्रिप्टोग्राफिक प्रिमिटिव
  • कृत्रिम बुद्धिमत्ता द्वारा संचालित प्रणालियाँ जो ज्यामितीय प्रमेयों को आदर्श सिद्धांत समस्याओं में परिवर्तित करके नए प्रमेयों की खोज करती हैं।
  • बहुपद असमानताओं द्वारा प्रतिरूपित आपूर्ति श्रृंखलाओं के लिए अनुकूलन एल्गोरिदम
  • औपचारिक सत्यापन of robotic motion planning algorithms
  • जटिल डेटासेट को विरल बहुपद प्रणालियों के रूप में प्रस्तुत करने वाली डेटा संपीड़न तकनीकें
  • बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए क्वांटम एल्गोरिदम
  • जटिल जैविक नेटवर्क की स्थिरता का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखाएँ
Related to: Nullstellensatz, Hilbert, ideal, radical ideal, affine variety, polynomial ring, algebraically closed field, commutative algebra.

ऐतिहासिक संदर्भ

Mathematician working on factorization of real polynomials in a historical classroom.

वास्तविक बहुपदों का गुणनखंडन

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।
Mathematician studying transcendental numbers in a historical study.

पारलौकिक संख्याएँ

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।
19th-century mathematician studying countability of rational numbers in an office.

परिमेय संख्याओं की गणनीयता

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ ("शून्य का प्रमेय")

Mathematician analyzing polynomials related to affine varieties in an office.

एफाइन वैरायटी

एक एफाइन वैरायटी, एफाइन स्पेस में स्थित उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक, परिमित बहुपदों के समूह के उभयनिष्ठ शून्य होते हैं। बहुपदों के समूह [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] के लिए, जो एक बहुपद वलय [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] में स्थित है, संगत एफाइन वैरायटी [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex] है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक प्रमुख विषय है।
1800
1844
1874
1893
1900
1799
1801
1850
1875
1897
1950
Historical study room with mathematicians discussing the Fundamental Theorem of Algebra.

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि जटिल गुणांकों वाले प्रत्येक गैर-स्थिर एकल-चर बहुपद का कम से कम एक जटिल मूल होता है। यह इस बात की गारंटी देता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं में हल न किए जा सकने वाले बहुपद समीकरणों को जटिल संख्याओं में हल किया जा सकता है। एक बहुपद [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] के लिए, mathbb{C}[/latex] में एक [latex]z_0[/latex] मौजूद है जैसे कि [latex]p(z_0) = 0[/latex]।
Study room with books and chalkboard illustrating the Fundamental Theorem of Arithmetic in number theory.

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट गुणनखंडन संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मूलभूत गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।
Desk of a 19th-century mathematician with prime factorization book and tools.

एक पूर्णांक का प्रामाणिक निरूपण

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...
Study room of mathematicians Cauchy and Kovalevski with analysis books and equations.

कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।
19th century study room of Kurt Hensel focused on p-adic numbers and number theory.

पी-एडिक संख्याएँ

किसी अभाज्य संख्या p के लिए, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक विस्तार बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं से टोपोलॉजिकली भिन्न होती हैं। जहाँ वास्तविक संख्याएँ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, वहीं p-एडिक संख्याएँ p-एडिक मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, जहाँ संख्याएँ "छोटी" कहलाती हैं यदि वे p की उच्च घात से विभाज्य हों।
Mathematician's workspace focused on sheaf cohomology with textbooks and notes.

शीफ कोहोमोलॉगी

शीफ कोहोमोलॉगी आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय स्थानों के वैश्विक गुणों के अध्ययन के लिए एक केंद्रीय उपकरण है। किसी स्थान X पर स्थित शीफ F के लिए, कोहोमोलॉगी समूह H^i(X, F) सदिश स्थान होते हैं जिनकी विमाएँ महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीयताएँ प्रदान करती हैं। समूह H^0 वैश्विक अनुभागों का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि i > 0 के लिए उच्च समूह H^i स्थानीय अनुभागों को एक वैश्विक अनुभाग में संयोजित करने में आने वाली बाधाओं को मापते हैं।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

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