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Loi de Hooke généralisée

1678
  • Robert Hooke
  • Thomas Young
  • Augustin-Louis Cauchy
17th-century laboratory with tools for tensile testing and equations of Generalized Hooke's Law.

(Image générée à titre d'illustration uniquement)

La loi de Hooke généralisée est la équation constitutive pour les matériaux élastiques linéaires, en indiquant que le stresser tensor is linearly proportional to the souche tensor. The relationship is expressed as [latex]\sigma = C : \varepsilon[/latex], where [latex]\sigma[/latex] is the stress tensor, [latex]\varepsilon[/latex] is the strain tensor, and [latex]C[/latex] is the fourth-order stiffness tensor containing the material’s elastic constants.

Alors que la loi originale de Robert Hooke de 1678 (« ut tensio, sic vis », « comme l'allongement, ainsi la force ») décrivait une relation linéaire simple à une dimension, la loi de Hooke généralisée étend ce principe à trois dimensions. Elle constitue le fondement mathématique de la théorie de l'élasticité linéaire. Cette relation relie les six composantes indépendantes du tenseur des contraintes aux six composantes indépendantes du tenseur des déformations infinitésimales. Ceci est réalisé grâce au tenseur de rigidité Cijkl, un tenseur d'ordre quatre comportant 81 composantes dans sa forme la plus générale.

Du fait de la symétrie des tenseurs de contrainte et de déformation, le nombre de composantes indépendantes du tenseur de rigidité se réduit à 36. De plus, en supposant l'existence d'une fonction de densité d'énergie de déformation, le tenseur de rigidité lui-même devient symétrique (Cijkl = Cklij), ramenant le nombre de constantes élastiques indépendantes à 21 pour le matériau anisotrope le plus général. Pour les matériaux présentant un degré de symétrie plus élevé, ce nombre est encore réduit. Pour un matériau isotrope, dont les propriétés sont identiques dans toutes les directions, seules deux constantes élastiques indépendantes sont nécessaires : le module de Young (E) et le coefficient de Poisson (ν). Dans ce cas courant, la loi se simplifie considérablement, permettant le calcul direct des contraintes à partir des déformations et inversement. Cette loi n'est valable que dans le domaine élastique du matériau ; au-delà, une déformation plastique permanente apparaît et d'autres modèles constitutifs sont requis.

UNESCO Nomenclature: 2208
- Mécanique

Taper

Loi physique

Perturbation

Fondamentaux

Usage

Utilisation généralisée

Précurseurs

  • Observations sur les propriétés élastiques des matériaux
  • Développement des concepts de stress et de tension
  • Les lois du mouvement de Newton

Applications

  • logiciel d'analyse par éléments finis (FEA) pour la conception structurelle
  • conception de ressorts, de poutres et d'autres composants élastiques
  • caractérisation des matériaux par essais de traction
  • sismologie pour modéliser la propagation des ondes élastiques à travers la Terre

Brevets:

NA

Idées d'innovations potentielles

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Lié à : loi de Hooke, élasticité linéaire, équation constitutive, relation contrainte-déformation, tenseur de rigidité, module de Young, coefficient de Poisson, matériau isotrope.

Contexte historique

Loi de Hooke généralisée

1600
1650
1650
1678
1687
1687
1738
1750
1650
1650
1672
1687
1687
1738
1750

(si la date est inconnue ou non pertinente, par exemple « mécanique des fluides », une estimation arrondie de son émergence notable est fournie)

Inventions, innovations et principes techniques connexes

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