Ley de Hooke generalizada
1678
- Robert Hooke
- Thomas Young
- Augustin-Louis Cauchy
La ley generalizada de Hooke es la ecuación constitutiva para materiales elásticos lineales, afirmando que el estrés tensor is linearly proportional to the cepa tensor. The relationship is expressed as [latex]\sigma = C : \varepsilon[/latex], where [latex]\sigma[/latex] is the stress tensor, [latex]\varepsilon[/latex] is the strain tensor, and [latex]C[/latex] is the fourth-order stiffness tensor containing the material’s elastic constants.
Si bien la ley original de Robert Hooke de 1678 («ut tensio, sic vis» —«como la extensión, así la fuerza») describía una relación lineal unidimensional simple, la ley generalizada de Hooke extiende este principio a tres dimensiones. Constituye el fundamento matemático de la teoría de la elasticidad lineal. La relación conecta las seis componentes independientes del tensor de tensión con las seis componentes independientes del tensor de deformación infinitesimal. Esto se logra mediante el tensor de rigidez [latex]C_{ijkl}[/latex], un tensor de cuarto orden que contiene 81 componentes en su forma más general.
Debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación, el número de componentes independientes en el tensor de rigidez se reduce a 36. Además, asumiendo la existencia de una función de densidad de energía de deformación, el propio tensor de rigidez se vuelve simétrico ([latex]C_{ijkl} = C_{klij}[/latex]), reduciendo el número de constantes elásticas independientes a 21 para el material anisotrópico más general. Para materiales con mayor grado de simetría, este número se reduce aún más. Para un material isotrópico, que tiene las mismas propiedades en todas las direcciones, solo se necesitan dos constantes elásticas independientes, como el módulo de Young (E) y el coeficiente de Poisson (ν). En este caso común, la ley se simplifica significativamente, permitiendo el cálculo directo de tensiones a partir de deformaciones y viceversa. Esta ley solo es válida dentro del límite elástico del material; más allá de este punto, se produce una deformación plástica permanente y se requieren otros modelos constitutivos.
UNESCO Nomenclature: 2208
- Mecánica
Precursores
- Observaciones sobre las propiedades elásticas de los materiales.
- Desarrollo de los conceptos de estrés y deformación
- Las leyes del movimiento de Newton
Aplicaciones
- software de análisis de elementos finitos (FEA) para diseño estructural
- Diseño de resortes, vigas y otros componentes elásticos
- Caracterización de materiales mediante ensayos de tracción
- Sismología para modelar la propagación de ondas elásticas a través de la Tierra
Ideas para posibles innovaciones
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Relacionado con: Ley de Hooke, elasticidad lineal, ecuación constitutiva, relación tensión-deformación, tensor de rigidez, módulo de Young, coeficiente de Poisson, material isotrópico.