Teorema de Bayes

El teorema de Pitágoras proporciona la base para la fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas. La distancia [latex]d[/latex] entre dos puntos [latex](x_1, y_1)[/latex] y [latex](x_2, y_2)[/latex] en un plano viene dada por [latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Esta fórmula es una aplicación directa del teorema a un triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias en las coordenadas x e y.

Se trata de un problema históricamente notable en matemáticas. Su resolución negativa por Leonhard Euler en 1736 sentó las bases de la teoría de grafos y prefiguró la idea de topología. El problema consistía en saber si los siete puentes de la ciudad de Königsberg podían recorrerse en un solo viaje sin volver atrás, y si el viaje terminaba en el mismo terreno en el que había comenzado.

Teorema fundamental de topología y geometría que establece que, para cualquier poliedro convexo, el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) está relacionado por la fórmula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Este valor, 2, es la característica de Euler de una esfera, lo que revela una profunda propiedad topológica independiente de la forma específica del poliedro.

Ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden que describe sistemas en estado estacionario o de equilibrio. Se escribe como [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], donde [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) es el operador de Laplace. Las soluciones, denominadas funciones armónicas, son las funciones más suaves posibles y representan potenciales en campos como la electrostática, la gravitación y el flujo de fluidos.

Enfoque estándar para aproximar soluciones a sistemas sobredeterminados mediante la búsqueda de parámetros del modelo que minimicen la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores observados y los predichos. Esta suma se conoce como suma de residuos al cuadrado (SSR). El objetivo es encontrar los parámetros [latex]\hat{\beta}[/latex] que minimicen la función [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Ecuación diferencial parcial parabólica lineal fundamental de segundo orden que describe la distribución de calor u otros procesos de difusión. Su forma canónica es [latex]\frac{parcial u}{parcial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], donde [latex]u(\vec{x},t)[/latex] es la temperatura, [latex]t[/latex] es el tiempo, y [latex]\alpha[/latex] es la difusividad térmica. Las soluciones modelan cómo evoluciona una distribución inicial de temperatura, suavizando las irregularidades con el tiempo y aproximándose a un estado estacionario.

El sistema de coordenadas cartesianas proporciona un modelo algebraico para la geometría euclidiana. Utiliza uno o más números, o coordenadas, para determinar de forma única la posición de un punto en el espacio. En un plano, se utilizan dos líneas perpendiculares (el eje x y el eje y), lo que permite describir formas geométricas mediante ecuaciones algebraicas. Esta fusión de álgebra y geometría se conoce como geometría analítica.

La inducción matemática es una técnica utilizada para demostrar que una propiedad [latex]P(n)[/latex] se cumple para cada número natural [latex]n[/latex]. Implica dos pasos: el caso base, que demuestra que [latex]P(0)[/latex] o [latex]P(1)[/latex] es verdadero, y el paso inductivo, que demuestra que si [latex]P(k)[/latex] es verdadero para algún número natural [latex]k[/latex] (la hipótesis de inducción), entonces [latex]P(k+1)[/latex] también es verdadero.

Ecuación diferencial parcial hiperbólica lineal de segundo orden que gobierna la propagación de varios tipos de ondas. En su forma más simple, se escribe como [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], donde [latex]u(\vec{x},t)[/latex] es la amplitud de la onda, [latex]c[/latex] es la velocidad de la onda, y [latex]\nabla^2[/latex] es el operador de Laplace. Modela fenómenos como las cuerdas vibrantes, las ondas sonoras y las ondas luminosas.

La característica de Euler es una invariante topológica, un número que describe la estructura o forma de un espacio topológico independientemente de cómo se doble. Para los poliedros, se define mediante la fórmula [latex]\chi = V - E + F[/latex], donde V, E y F son el número de vértices, aristas y caras, respectivamente. Para una esfera, [latex]\chi = 2[/latex], mientras que para un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Es uno de los primeros problemas de probabilidad geométrica y se considera precursor del método de Montecarlo. Consiste en dejar caer una aguja de longitud [latex]l[/latex] sobre un suelo con líneas paralelas a una distancia [latex]t[/latex]. La probabilidad de que la aguja cruce una línea es [latex]P = \frac{2l}{pi t}[/latex] (para [latex]l \le t[/latex]). Esto proporciona un experimento físico para estimar [latex]\pi[/latex].

El teorema de Parseval relaciona la energía total de una señal (la integral de su cuadrado sobre un período) con la suma de las energías al cuadrado de sus componentes de la serie de Fourier. Para una función [latex]s(x)[/latex] con período [latex]P[/latex], el teorema establece: [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], donde [latex]c_n[/latex] son ​​los coeficientes complejos de Fourier.

La inferencia bayesiana es un método estadístico que utiliza el teorema de Bayes para actualizar la probabilidad de una hipótesis a medida que se dispone de más evidencia o información. Es un principio fundamental de la estadística bayesiana. La idea central se expresa como: la probabilidad posterior es proporcional al producto de la probabilidad previa y la verosimilitud, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], donde [latex]theta[/latex] es el parámetro y D son los datos.

Una serie de Fourier descompone cualquier función o señal periódica en una suma de funciones oscilantes simples, a saber, senos y cosenos. Para una función [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], la serie viene dada por [latex]s(x) approx frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nx}{P}right) + b_n sinleft(frac{2pi nx}{P}right)right][/latex]. Los términos [latex]a_n[/latex] y [latex]b_n[/latex] son ​​los coeficientes de Fourier.