La ecuación del calor

El teorema de Bayes describe la probabilidad de un evento basándose en el conocimiento previo de las condiciones que podrían estar relacionadas con dicho evento. Es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad y la estadística. Matemáticamente, se expresa como [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], donde A y B son eventos y [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Relaciona las probabilidades condicionales y marginales de dos eventos aleatorios.

Ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden que describe sistemas en estado estacionario o de equilibrio. Se escribe como [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], donde [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) es el operador de Laplace. Las soluciones, denominadas funciones armónicas, son las funciones más suaves posibles y representan potenciales en campos como la electrostática, la gravitación y el flujo de fluidos.

Enfoque estándar para aproximar soluciones a sistemas sobredeterminados mediante la búsqueda de parámetros del modelo que minimicen la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores observados y los predichos. Esta suma se conoce como suma de residuos al cuadrado (SSR). El objetivo es encontrar los parámetros [latex]\hat{\beta}[/latex] que minimicen la función [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Los coeficientes de la serie de Fourier de una función [latex]s(x)[/latex] con período [latex]P[/latex] se calculan utilizando fórmulas integrales. El componente de CC es [latex]a_0 = frac{2}{P} int_{P} s(x) , dx[/latex]. Los coeficientes del coseno son [latex]a_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) cosleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex], y los coeficientes del seno son [latex]b_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) sinleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] para [latex]n ge 1[/latex].

Una solución fundamental de un operador diferencial parcial lineal [latex]L[/latex] es una solución de la ecuación [latex]Lu = delta(x)[/latex], donde [latex]delta(x)[/latex] es la función delta de Dirac. Representa la respuesta del sistema a una fuente puntual o impulso. Una vez conocida, la solución de la ecuación no homogénea [latex]Lu = f(x)[/latex] puede hallarse por convolución: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], donde [latex]G[/latex] es la solución fundamental.

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la geometría de una superficie bidimensional compacta con su topología. Afirma que la integral de la curvatura gaussiana [latex]K[/latex] sobre toda la superficie [latex]M[/latex] es igual a [latex]2\pi[/latex] veces la característica de Euler [latex]\chi(M)[/latex] de la superficie. La fórmula es [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

La característica de Euler es una invariante topológica, un número que describe la estructura o forma de un espacio topológico independientemente de cómo se doble. Para los poliedros, se define mediante la fórmula [latex]\chi = V - E + F[/latex], donde V, E y F son el número de vértices, aristas y caras, respectivamente. Para una esfera, [latex]\chi = 2[/latex], mientras que para un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Es uno de los primeros problemas de probabilidad geométrica y se considera precursor del método de Montecarlo. Consiste en dejar caer una aguja de longitud [latex]l[/latex] sobre un suelo con líneas paralelas a una distancia [latex]t[/latex]. La probabilidad de que la aguja cruce una línea es [latex]P = \frac{2l}{pi t}[/latex] (para [latex]l \le t[/latex]). Esto proporciona un experimento físico para estimar [latex]\pi[/latex].

El teorema de Parseval relaciona la energía total de una señal (la integral de su cuadrado sobre un período) con la suma de las energías al cuadrado de sus componentes de la serie de Fourier. Para una función [latex]s(x)[/latex] con período [latex]P[/latex], el teorema establece: [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], donde [latex]c_n[/latex] son ​​los coeficientes complejos de Fourier.

La inferencia bayesiana es un método estadístico que utiliza el teorema de Bayes para actualizar la probabilidad de una hipótesis a medida que se dispone de más evidencia o información. Es un principio fundamental de la estadística bayesiana. La idea central se expresa como: la probabilidad posterior es proporcional al producto de la probabilidad previa y la verosimilitud, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], donde [latex]theta[/latex] es el parámetro y D son los datos.

Una serie de Fourier descompone cualquier función o señal periódica en una suma de funciones oscilantes simples, a saber, senos y cosenos. Para una función [latex]s(x)[/latex] con periodo [latex]P[/latex], la serie viene dada por [latex]s(x) approx frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nx}{P}right) + b_n sinleft(frac{2pi nx}{P}right)right][/latex]. Los términos [latex]a_n[/latex] y [latex]b_n[/latex] son ​​los coeficientes de Fourier.

El Teorema Egregium (teorema notable en latín) afirma que la curvatura gaussiana de una superficie es una propiedad intrínseca. Esto significa que sólo depende de cómo se midan las distancias en la propia superficie, no de cómo se inserte la superficie en el espacio tridimensional. Una hoja de papel plana puede enrollarse hasta formar un cilindro, pero no una esfera sin estirarse.

For a Fourier series to converge to the function's value, the function must satisfy the Dirichlet conditions over one period. These are: (1) the function must be absolutely integrable, (2) it must have a finite number of extrema (maxima and minima), and (3) it must have a finite number of finite discontinuities.

Las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación del álgebra booleana fundamentales para el diseño de circuitos digitales. La primera ley establece que la negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. La segunda afirma que la negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].