Unendliche Primzahlen (Euklidischer Beweis)

Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die als Bruch oder Quotient [latex]p/q[/latex] ausgedrückt werden kann, wobei [latex]p[/latex] eine ganze Zahl und [latex]q[/latex] eine ganze Zahl ungleich Null ist. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit [latex]\mathbb{Q}[/latex] bezeichnet. Dieses grundlegende Konzept erweitert die ganzen Zahlen um Brüche und ermöglicht so die Darstellung von Teilen eines Ganzen.

Eine partielle Differentialgleichung (PDE) ist eine Gleichung, die Beziehungen zwischen den verschiedenen partiellen Ableitungen einer multivariablen Funktion herstellt. Die Funktion wird oft als die Unbekannte bezeichnet, und eine PDE beschreibt eine Beziehung zwischen dieser unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs), die Funktionen einer einzigen Variablen betreffen, sind PDEs grundlegend für die Modellierung mehrdimensionaler Systeme.

Eine Technik zum Lösen partieller Differentialgleichungen (PDE) erster und hyperbolischer zweiter Ordnung. Die Methode reduziert eine PDE auf eine Familie gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) entlang bestimmter Kurven, sogenannter „Charakteristiken“. Entlang dieser Kurven vereinfacht sich die PDE, sodass die Lösung durch Integration des Systems der ODEs gefunden werden kann. Diese Methode ist besonders leistungsfähig bei Problemen im Zusammenhang mit Transport und Wellenausbreitung.

Eine direkte Folge des Fundamentalsatzes der Algebra ist, dass jedes nichtkonstante Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt aus linearen Faktoren und irreduziblen quadratischen Faktoren zerlegt werden kann, die alle reelle Koeffizienten haben. Die linearen Faktoren entsprechen den reellen Wurzeln, während die irreduziblen quadratischen Faktoren den Paaren komplexer konjugierter Wurzeln [latex]a \pm bi[/latex] entsprechen.

Eine transzendente Zahl ist eine reelle oder komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, d. h. sie ist keine Wurzel einer Polynomgleichung ungleich Null mit ganzzahligen (oder rationalen) Koeffizienten. Alle transzendentalen Zahlen sind irrational, aber nicht alle irrationalen Zahlen sind transzendent (z. B. ist [latex]\sqrt{2}[/latex] irrational, aber algebraisch, da es eine Wurzel von [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] ist).

Obwohl sie dicht ist, d. h. zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen eine weitere liegt, ist die Menge aller rationalen Zahlen [latex]\mathbb{Q}[/latex] abzählbar unendlich. Das bedeutet, dass alle rationalen Zahlen in eine eins-zu-eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex] gebracht werden können. Dieses überraschende Ergebnis zeigt, dass [latex]\mathbb{Q}[/latex] dieselbe Kardinalität hat wie [latex]\mathbb{N}[/latex] und [latex]\mathbb{Z}[/latex].

Ein Schlüsselergebnis der Zahlentheorie, das besagt, dass, wenn eine Primzahl [latex]p[/latex] das Produkt zweier ganzer Zahlen [latex]a[/latex] und [latex]b[/latex] teilt, dann muss [latex]p[/latex] mindestens eine dieser ganzen Zahlen teilen. Das heißt, wenn [latex]p | ab[/latex], dann [latex]p | a[/latex] oder [latex]p | b[/latex]. Diese Eigenschaft ist für den Nachweis der Einzigartigkeit des Fundamentalsatzes der Arithmetik unerlässlich.

Eine irrationale Zahl ist jede reelle Zahl, die nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, [latex]p/q[/latex], ausgedrückt werden kann, wobei [latex]p[/latex] eine ganze Zahl und [latex]q[/latex] eine ganze Zahl ungleich Null ist. Mit anderen Worten, es handelt sich um reelle Zahlen, die nicht rational sind. Ihre Dezimaldarstellung endet nie und wechselt nie in ein sich permanent wiederholendes Muster.

Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung periodisch ist. Das bedeutet, dass sich die Ziffernfolge irgendwann unendlich oft wiederholt. Dieser sich wiederholende Teil wird als Repetend bezeichnet. Beispiel: [latex]1/3 = 0,333...[/latex] (Repetend ist '3') und [latex]3/7 = 0,428571428571...[/latex] (Repetend ist '428571'). Endliche Dezimalzahlen sind ein Sonderfall, bei dem der Repetend '0' ist.

Das Bézout-Theorem ist eine grundlegende Aussage der Schnittpunkttheorie. Es besagt, dass die Anzahl der Schnittpunkte zweier ebener algebraischer Kurven mit den Graden [latex]m[/latex] und [latex]n[/latex] genau [latex]mn[/latex] beträgt, vorausgesetzt, man arbeitet in einer projektiven Ebene über einem algebraisch geschlossenen Feld, zählt Punkte mit Vielfachheit und schließt Punkte im Unendlichen ein, an denen sich parallele Asymptoten treffen.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante einstellige Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Wurzel hat. Dies garantiert, dass der Bereich der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist, was bedeutet, dass Polynomgleichungen, die mit reellen Zahlen nicht gelöst werden können, mit komplexen Zahlen gelöst werden können. Für ein Polynom [latex]p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0[/latex] gibt es ein [latex]z_0 in \mathbb{C}[/latex], sodass [latex]p(z_0) = 0[/latex] gilt.

Dieses Theorem besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 entweder eine Primzahl ist oder eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, wobei die Reihenfolge der Faktoren nicht berücksichtigt wird. Zum Beispiel: [latex]1200 = 2^4 \mal 3^1 \mal 5^2[/latex]. Diese eindeutige Faktorisierung ist ein Eckpfeiler der Zahlentheorie, da sie eine grundlegende multiplikative Struktur für die ganzen Zahlen liefert.

Die kanonische Darstellung oder Standardform einer positiven ganzen Zahl [latex]n[/latex] ist ihre eindeutige Primfaktorzerlegung, geschrieben als Produkt von Primzahlpotenzen mit den Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge. Für jede ganze Zahl [latex]n > 1[/latex] kann sie geschrieben werden als [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex] geschrieben werden, wobei [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] Primzahlen und die Exponenten [latex]a_i[/latex] positive ganze Zahlen sind.

Ein grundlegender Existenz- und Eindeutigkeitssatz für partielle Differentialgleichungen im Zusammenhang mit Cauchy-Anfangswertproblemen. Er besagt, dass, wenn die partielle Differentialgleichung und die Anfangsbedingungen „analytisch“ sind (durch konvergente Potenzreihen darstellbar), eine eindeutige analytische Lösung in einer Umgebung der Anfangsfläche existiert. Er bietet eine lokale Existenzgarantie, berücksichtigt jedoch nicht das globale Verhalten oder die Wohlgestelltheit.