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Die Boltzmann-Verteilung

1868
  • Ludwig Boltzmann
Physiker, der die Gleichungen der Boltzmann-Verteilung in einer klassischen Laborumgebung analysiert.

Die Boltzmann-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein System im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T in einem bestimmten Mikrozustand mit der Energie E befindet. Diese Wahrscheinlichkeit ist proportional zum Boltzmann-Faktor, [latex]e^{-E / k_B T}[/latex]. Daraus folgt, dass Zustände mit niedrigerer Energie exponentiell wahrscheinlicher besetzt sind als Zustände mit höherer Energie, wobei die Temperatur diese Präferenz moduliert.

The Boltzmann distribution is a cornerstone of statistical mechanics and is arguably its most useful result for practical applications. It can be derived by considering a small system in thermal contact with a large heat reservoir. The combined system (system + reservoir) is isolated, and by applying Boltzmann’s entropy principle ([latex]S = k_B \ln W[/latex]) to the reservoir, one can find the most probable energy distribution for the small system. The result is that the probability of the system being in state ‘i’ with energy [latex]E_i[/latex] is [latex]P_i \propto e^{-E_i/k_B T}[/latex].

The term [latex]k_B T[/latex] represents the characteristic thermal energy available at temperature T. The ratio [latex]E/k_B T[/latex] is dimensionless and determines the probability. If a state’s energy E is much less than the thermal energy ([latex]E \ll k_B T[/latex]), the exponential factor is close to 1, and the state is highly probable. If the energy is much greater than the thermal energy ([latex]E \gg k_B T[/latex]), the factor is very small, and the state is very unlikely to be occupied. This exponential dependence is responsible for many phenomena, such as the rapid increase in chemical reaction rates with temperature, as more molecules possess the necessary activation energy.

UNESCO Nomenclature: 2211
- Thermodynamik

Typ

Abstraktes System

Unterbrechung

Revolutionär

Verwendung

Weit verbreitete Verwendung

Vorläufersubstanzen

  • James Clerk Maxwell’s distribution of molecular speeds in a gas (a specific case of the Boltzmann distribution)
  • Die kinetische Gastheorie, die die Temperatur mit der durchschnittlichen kinetischen Energie verknüpfte
  • Rudolf Clausius’s work on heat and the second law of thermodynamics
  • Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie

Anwendungen

  • Halbleiterphysik zur Bestimmung der Ladungsträgerdichte
  • Atmosphärenwissenschaft zur Modellierung von Druckschwankungen mit der Höhe (barometrische Formel)
  • Chemische Kinetik zur Temperaturabhängigkeit von Reaktionsgeschwindigkeiten (Arrhenius-Gleichung)
  • Spektroskopie for understanding the doppler broadening of spectral lines

Patente:

NA

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