Metodo delle caratteristiche (matematica)

Un'equazione differenziale parziale (PDE) è un'equazione che impone relazioni tra le varie derivate parziali di una funzione multivariabile. La funzione è spesso chiamata incognita e una PDE descrive una relazione tra questa funzione incognita e le sue derivate. A differenza delle equazioni differenziali ordinarie (ODE), che riguardano funzioni di una sola variabile, le PDE sono fondamentali per modellare sistemi multidimensionali.

Il Nullstellensatz di Hilbert (in tedesco "teorema degli zeri") stabilisce una corrispondenza fondamentale tra geometria e algebra. Esso afferma che, per un campo algebricamente chiuso [latex]k[/latex], se un polinomio [latex]p[/latex] svanisce sull'insieme zero di un ideale [latex]I[/latex], allora una potenza di [latex]p[/latex] deve appartenere a [latex]I[/latex]. Formalmente, [latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex], il radicale di [latex]I[/latex].

La coomologia degli sheaf è uno strumento centrale della moderna geometria algebrica per studiare le proprietà globali degli spazi geometrici. Per uno sheaf [latex]\mathcal{F}[/latex] su uno spazio [latex]X[/latex], i gruppi di coomologia [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] sono spazi vettoriali le cui dimensioni forniscono importanti invarianti. Il gruppo [latex]H^0[/latex] rappresenta le sezioni globali, mentre i gruppi superiori [latex]H^i[/latex] per [latex]i > 0[/latex] misurano le ostruzioni al raggruppamento delle sezioni locali in una globale.

Il teorema di Bézout è un enunciato fondamentale della teoria delle intersezioni. Esso afferma che il numero di punti di intersezione di due curve algebriche piane di grado [latex]m[/latex] e [latex]n[/latex] è esattamente [latex]mn[/latex], a condizione che si lavori in un piano proiettivo su un campo algebricamente chiuso, si contino i punti con molteplicità e si includano i punti all'infinito in cui si incontrano gli asintoti paralleli.

Un teorema fondamentale di esistenza e unicità per equazioni differenziali parziali associate a problemi di Cauchy ai valori iniziali. Afferma che se l'equazione differenziale alle derivate parziali e le condizioni iniziali sono "analitiche" (rappresentabili da serie di potenze convergenti), allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno della superficie iniziale. Fornisce una garanzia di esistenza locale, ma non affronta il comportamento globale o la buona posizione.

Una varietà affine è l'insieme dei punti di uno spazio affine le cui coordinate sono gli zeri comuni di un insieme finito di polinomi. Per un insieme di polinomi [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex] in un anello polinomiale [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex], la varietà affine corrispondente è [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ per tutti } f \in S\}[/latex]. È un oggetto di studio centrale della geometria algebrica classica.