Il cannone galileiano - Moltiplicazione della velocità nelle collisioni tra sfere impilate
Il cannone galileiano dimostra la moltiplicazione della velocità attraverso collisioni elastiche monodimensionali in sequenza. Quando una pila di palline di massa decrescente viene lasciata cadere, la pallina inferiore rimbalza e si scontra con quella superiore. In un caso idealizzato in cui una grande massa [latex]m_1[/latex] rimbalza con velocità [latex]v[/latex] e colpisce una massa molto più piccola [latex]m_2[/latex] che si muove verso il basso con velocità [latex]v[/latex], la massa più piccola viene spinta verso l'alto con velocità quasi [latex]3v[/latex].
The core principle of the Galilean cannon relies on the conservation of linear momentum and kinetic energy in perfectly elastic collisions. Consider two balls, a large one of mass [latex]m_1[/latex] and a small one of mass [latex]m_2[/latex]. The entire stack falls under gravity, reaching a velocity [latex]-v[/latex] just before impact. The bottom ball, [latex]m_1[/latex], strikes the ground and perfectly rebounds with velocity [latex]+v[/latex]. It immediately collides with ball [latex]m_2[/latex], which is still moving downwards at [latex]-v[/latex].
Dal punto di vista di un osservatore sulla sfera [latex]m_1[/latex], la sfera [latex]m_2[/latex] si sta avvicinando con una velocità relativa di [latex](-v) – (+v) = -2v[/latex]. In una collisione perfettamente elastica, la velocità relativa di separazione è uguale all'opposto della velocità relativa di avvicinamento. Pertanto, dopo la collisione, la sfera [latex]m_2[/latex] si allontanerà da [latex]m_1[/latex] con una velocità relativa di [latex]+2v[/latex].
Per trovare la velocità finale di [latex]m_2[/latex] nel sistema di riferimento del laboratorio, [latex]v_2′[/latex], aggiungiamo questa velocità di separazione relativa alla velocità finale di [latex]m_1[/latex], [latex]v_1′[/latex]. La formula per le velocità finali in una collisione elastica 1D fornisce [latex]v_2′ = frac{v(3m_1 – m_2)}{m_1 + m_2}[/latex]. Nel caso limite in cui [latex]m_1 >>>> m_2[/latex], la massa di [latex]m_1[/latex] è così grande che la sua velocità è appena influenzata dalla collisione, quindi [latex]v_1′ approx v[/latex]. La velocità finale di [latex]m_2[/latex] è quindi [latex]v_2′ approx v_1′ + 2v approx v + 2v = 3v[/latex]. Questo triplicamento della velocità per la seconda sfera è l'effetto di amplificazione fondamentale. Se si impilano più sfere, questo effetto si propaga a cascata, portando a velocità ancora maggiori per la sfera più in alto.
L'Astroblaster® era un giocattolo disponibile in commercio che dimostrava il principio del cannone galileiano: consisteva in quattro sfere di dimensioni e massa decrescenti tenute insieme da un albero centrale, il che assicurava che le collisioni fossero unidimensionali. Quando lasciata cadere, la sfera più piccola in alto rimbalzava a un'altezza molte volte superiore a quella di caduta originale, illustrando vividamente quel trasferimento e concentrazione di energia cinetica.
UNESCO Nomenclature: 2210
- Meccanica
Precursori
- Il lavoro di Galileo sui corpi in caduta
- L'opera di Christiaan Huygens sulle collisioni (circa 1650)
- Le leggi del moto di Isaac Newton
- Principio di conservazione della quantità di moto
- Principio di conservazione dell'energia cinetica negli urti elastici
Applicazioni
- dimostrazioni di educazione fisica
- modelli per esplosioni di supernova di tipo II
- lanciatori di proiettili ad alta velocità concettuali
Idee e potenziali innovazioni
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