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यूक्लिडियन दूरी

1650

René Descartes

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।

The Euclidean distance formula is a direct and powerful application of the Pythagorean theorem within the framework of a Cartesian coordinate system. It provides a simple method to calculate the straight-line distance between any two points in a plane (or in higher-dimensional space). For two points, P1 at [latex](x_1, y_1)[/latex] and P2 at [latex](x_2, y_2)[/latex], the formula is [latex]d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}[/latex].

इस सूत्र की व्युत्पत्ति दृष्टिगत रूप से सहज है। दो बिंदुओं को समकोण त्रिभुज के शीर्षों के रूप में देखा जा सकता है। इस त्रिभुज की क्षैतिज भुजा की लंबाई x-निर्देशांकों का निरपेक्ष अंतर है, [latex]|x_2 – x_1|[/latex]। ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई y-निर्देशांकों का निरपेक्ष अंतर है, [latex]|y_2 – y_1|[/latex]। P1 और P2 के बीच की सीधी रेखा दूरी इस त्रिभुज का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय ([latex]c^2 = a^2 + b^2[/latex]) लागू करने पर, हमें [latex]d^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2[/latex] प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर दूरी का सूत्र प्राप्त होता है। वर्ग करने की प्रक्रिया से निरपेक्ष मान के चिह्नों की आवश्यकता आसानी से समाप्त हो जाती है।

यह अवधारणा, प्राचीन ग्रीक ज्यामिति और 17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फर्माट द्वारा विकसित विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मेल से उत्पन्न हुई है, और लगभग हर वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्र के लिए मूलभूत है। यह ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय समस्याओं में रूपांतरित करने और व्यवस्थित रूप से हल करने की अनुमति देती है। यह सूत्र तीन या अधिक आयामों तक भी सहजता से लागू होता है। 3D अंतरिक्ष में दो बिंदुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के लिए, दूरी d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² है। यह सामान्यीकृत रूप, जिसे यूक्लिडियन नॉर्म या एल2 नॉर्म के रूप में जाना जाता है, रैखिक बीजगणित, कंप्यूटर विज्ञान (विशेष रूप से मशीन लर्निंग में "के-निकटतम पड़ोसियों" और क्लस्टरिंग एल्गोरिदम के लिए) और भौतिकी की आधारशिला है।

एल्गोरिदम, स्वायत्त वाहन, भौगोलिक सूचना प्रणाली (जीआईएस), ज्यामिति, मशीन लर्निंग, गणित, रोबोटिक्स, सांख्यिकीय विश्लेषण

UNESCO Nomenclature: 1204

ज्यामिति

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

पाइथागोरस प्रमेय
रेने डेसकार्टेस द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का विकास
बीजीय निर्देशांकों के साथ ज्यामितीय बिंदुओं को निरूपित करने की अवधारणा

आवेदन

कंप्यूटर विज्ञान (उदाहरण के लिए, मशीन लर्निंग में k-निकटतम पड़ोसी एल्गोरिदम)
भौगोलिक सूचना प्रणाली (जीआईएस)
रोबोटिक्स और स्वायत्त नेविगेशन
डेटा विश्लेषण और क्लस्टरिंग
वीडियो गेम विकास (वस्तुओं के बीच की दूरी की गणना करना)

पेटेंट:

संभावित नवाचार विचार

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संबंधित विषय: दूरी का सूत्र, यूक्लिडियन दूरी, कार्टेशियन निर्देशांक, विश्लेषणात्मक ज्यामिति, पाइथागोरस प्रमेय, निर्देशांक प्रणाली, मशीन लर्निंग, जीआईएस, गणित, ज्यामिति।

ऐतिहासिक संदर्भ

Scholar engaged in proof by contradiction in an ancient library setting.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (बेतुकेपन की स्थिति तक सीमित करना)

विरोधाभास द्वारा प्रमाण, या रिडक्टियो एड एब्सर्डम, अप्रत्यक्ष प्रमाण का एक रूप है। यह किसी कथन की सत्यता को यह दर्शाकर स्थापित करता है कि किसी कथन को असत्य मानने से तार्किक विरोधाभास उत्पन्न होता है। किसी कथन p को सिद्ध करने के लिए, उसके निषेध, ऋणात्मक p को माना जाता है और q और ऋणात्मक q जैसे विरोधाभास को निकाला जाता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि p सत्य होना चाहिए।

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ऐतिहासिक अध्ययन संदर्भ में ज्यामितीय आकृतियों के साथ कैवलिएरी सिद्धांत का गणितीय व्युत्क्रमण।.

कैवलियरी का सिद्धांत

अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।

यूक्लिडियन दूरी

कोनिग्सबर्ग पुल समस्या का मानचित्र जो यूलर के ग्राफ सिद्धांत की नींव को दर्शाता है।.

कोनिग्सबर्ग के सात पुल

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।

यूलर का बहुफलक सूत्र

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।

ऐतिहासिक अध्ययन कक्ष जिसमें एक गणितज्ञ बेयस का प्रमेय निकाल रहा है।.

बेयस प्रमेय

बेयस प्रमेय किसी घटना की प्रायिकता का वर्णन उन पूर्व ज्ञान के आधार पर करता है जो उस घटना से संबंधित हो सकती हैं। यह प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में एक मूलभूत अवधारणा है। गणितीय रूप से, इसे [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ A और B घटनाएँ हैं और [latex]P(B) neq 0[/latex]। यह दो यादृच्छिक घटनाओं की सशर्त और सीमांत प्रायिकताओं को आपस में जोड़ता है।

-400

-550

1635

1650

1736

1750

1763-12-23

-350

-500

150

1640

1650

1747

1758

1777

Five Platonic solids: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron in geometry.

पाँच प्लेटोनिक ठोस

प्लेटोनिक ठोस पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं: एक नियमित बहुफलक में सर्वांगसम नियमित बहुभुजीय फलक होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में फलक मिलते हैं। ये पाँच ठोस हैं: चतुष्फलक (4 फलक), घन (6 फलक), अष्टफलक (8 फलक), द्वादशफलक (12 फलक) और विंशफलक (20 फलक)। इनकी समरूपता और गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया जा रहा है।

Stone tablet inscribed with the proof of the irrationality of the square root of 2.

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका प्रचलित प्रमाण, जिसे अक्सर पाइथागोरसवादियों से जोड़ा जाता है, विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जाता है: यह सबसे सरल रूप में [latex]√2 = p/q[/latex] मानता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि [latex]p[/latex] और [latex]q[/latex] दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए, जो प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।

ट्रिगोनोमेट्रिक पहचानों के लिए ज्यामितीय आरेखों सहित टोलेमी प्रमेय को दर्शाता प्राचीन पांडुलिपि।.

टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।

गणितज्ञ द्वारा गणितीय अनुवर्तन का उपयोग करके गुणों को सिद्ध करते हुए अध्ययन कक्ष।.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।

जीन ले रोंड डालेम्बर्ट एक ऐतिहासिक कार्यालयीन परिवेश में तरंग समीकरण का विकास करते हुए।.

तरंग समीकरण (भौतिकी)

यह द्वितीय क्रम का रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] लाप्लास प्रवर्तक है। यह कंपनशील तार, ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें जैसी घटनाओं का प्रतिरूपण करता है।

यूलेर विशेषता सूत्र, कलम, स्याही और पार्चमेंट वाला गणितज्ञ का डेस्क।.

यूलर विशेषता

यूलर अभिलक्षणिका एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयता है, एक संख्या जो किसी टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना या आकार का वर्णन करती है, चाहे उसे किसी भी तरह से मोड़ा जाए। बहुफलकों के लिए, इसे सूत्र [latex]chi = V - E + F[/latex] द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ V, E और F क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। गोले के लिए, [latex]chi = 2[/latex], जबकि टोरस के लिए, [latex]chi = 0[/latex]।

लकड़ी के फर्श पर सुई और समांतर रेखाओं के साथ ज्यामितीय संभाव्यता प्रयोग।.

बफॉन की सुई की समस्या

ज्यामितीय प्रायिकता की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से एक, इसे मोंटे कार्लो विधि का अग्रदूत माना जाता है। इसमें [latex]l[/latex] लंबाई की एक सुई को [latex]t[/latex] दूरी पर स्थित समानांतर रेखाओं वाले फर्श पर गिराया जाता है। सुई द्वारा किसी रेखा को पार करने की प्रायिकता [latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex] है (जहाँ [latex]l le t[/latex] है)। यह [latex]pi[/latex] का अनुमान लगाने के लिए एक भौतिक प्रयोग प्रदान करता है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)