Die Wellengleichung (Physik)

Der Satz des Ptolemäus liefert einen eleganten geometrischen Beweis für die Summen- und Differenzformeln in der Trigonometrie. Durch Einzeichnen eines Vierecks in einen Kreis, dessen Durchmesser eine Seite des Vierecks ist, lassen sich die Seitenlängen als Sinus- und Kosinuswerte der eingeschriebenen Winkel ausdrücken. Die Anwendung des Satzes [latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex] führt direkt zu Identitäten wie [latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex].

Das kartesische Koordinatensystem bietet ein algebraisches Modell für die euklidische Geometrie. Es verwendet eine oder mehrere Zahlen bzw. Koordinaten, um die Position eines Punktes im Raum eindeutig zu bestimmen. In einer Ebene werden zwei senkrecht zueinander stehende Linien (die x- und die y-Achse) verwendet, wodurch geometrische Formen durch algebraische Gleichungen beschrieben werden können. Diese Verschmelzung von Algebra und Geometrie wird als analytische Geometrie bezeichnet.

Die mathematische Induktion ist eine Technik, mit der bewiesen wird, dass eine Eigenschaft [latex]P(n)[/latex] für jede natürliche Zahl [latex]n[/latex] gilt. Sie umfasst zwei Schritte: den Basisfall, in dem bewiesen wird, dass [latex]P(0)[/latex] oder [latex]P(1)[/latex] wahr ist, und den induktiven Schritt, in dem bewiesen wird, dass, wenn [latex]P(k)[/latex] für eine natürliche Zahl [latex]k[/latex] wahr ist (die Induktionshypothese), dann ist auch [latex]P(k+1)[/latex] wahr.

Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante, eine Zahl, die die Struktur oder Form eines topologischen Raums beschreibt, unabhängig davon, wie er gekrümmt ist. Bei Polyedern wird sie durch die Formel [latex]\chi = V - E + F[/latex] definiert, wobei V, E und F die Anzahl der Ecken, Kanten bzw. Flächen sind. Für eine Kugel ist [latex]\chi = 2[/latex], für einen Torus ist [latex]\chi = 0[/latex].

Es ist eines der ersten Probleme der geometrischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und gilt als Vorläufer der Monte-Carlo-Methode. Es geht darum, eine Nadel der Länge [latex]l[/latex] auf einen Boden mit parallelen Linien im Abstand von [latex]t[/latex] fallen zu lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie überquert, ist [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (für [latex]l \le t[/latex]). Damit steht ein physikalisches Experiment zur Verfügung, um [latex]\pi[/latex] zu schätzen.

Der Satz von Parseval setzt die Gesamtenergie eines Signals (das Integral seines Quadrats über eine Periode) in Beziehung zur Summe der quadrierten Energien seiner Fourier-Reihenkomponenten. Für eine Funktion [latex]s(x)[/latex] mit der Periode [latex]P[/latex] lautet der Satz: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], wobei [latex]c_n[/latex] die komplexen Fourier-Koeffizienten sind.

Der Satz des Pythagoras ist eine grundlegende Beziehung in der euklidischen Geometrie zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Er besagt, dass die Fläche des Quadrats, dessen Seite die Hypotenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate an den beiden anderen Seiten ist. Die Formel wird ausgedrückt als [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Dieses auch als Methode der Unteilbarkeiten bekannte Prinzip besagt, dass zwei Körper, die zwischen zwei parallelen Ebenen liegen, die Eigenschaft haben, dass jede zu den beiden gegebenen Ebenen parallele Ebene sie in Querschnitten gleicher Fläche schneidet, dann haben die beiden Körper gleiche Volumina. Es bietet eine leistungsfähige Methode zur Berechnung der Volumina komplexer Formen ohne Rechenaufwand.

Der Satz des Pythagoras bildet die Grundlage für die Entfernungsformel in kartesischen Koordinaten. Der Abstand [latex]d[/latex] zwischen zwei Punkten [latex](x_1, y_1)[/latex] und [latex](x_2, y_2)[/latex] in einer Ebene ist gegeben durch [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. Diese Formel ist eine direkte Anwendung des Satzes auf ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Differenzen der x- und y-Koordinaten sind.

Dies ist ein historisch bemerkenswertes Problem in der Mathematik. Seine negative Lösung durch Leonhard Euler im Jahr 1736 legte den Grundstein für die Graphentheorie und nahm die Idee der Topologie vorweg. Es ging um die Frage, ob die sieben Brücken der Stadt Königsberg in einer einzigen Fahrt ohne Umweg überquert werden können, wobei die Fahrt auf derselben Landmasse endet, auf der sie beginnt.

Ein grundlegender Satz in der Topologie und Geometrie, der besagt, dass für jedes konvexe Polyeder die Anzahl der Ecken (V), Kanten (E) und Flächen (F) durch die Formel [latex]V - E + F = 2[/latex] zusammenhängt. Dieser Wert, 2, ist die Euler-Charakteristik einer Kugel und offenbart eine tiefgreifende topologische Eigenschaft, die von der spezifischen Form des Polyeders unabhängig ist.

Das Bayes-Theorem beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Grundlage von Vorwissen über Bedingungen, die mit dem Ereignis in Zusammenhang stehen könnten. Es handelt sich um ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Mathematisch wird es wie folgt ausgedrückt: [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], wobei A und B Ereignisse sind und [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Es setzt die bedingten und marginalen Wahrscheinlichkeiten zweier zufälliger Ereignisse in Beziehung.

Eine lineare elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Systeme in einem stationären Zustand oder im Gleichgewicht beschreibt. Sie wird geschrieben als [latex]nabla^2 u = 0[/latex] oder [latex]Delta u = 0[/latex], wobei [latex]nabla^2[/latex] (oder [latex]Delta[/latex]) der Laplace-Operator ist. Lösungen, so genannte harmonische Funktionen, sind die glattesten möglichen Funktionen und stellen Potenziale in Bereichen wie Elektrostatik, Gravitation und Flüssigkeitsströmung dar.

Ein Standardansatz zur Annäherung von Lösungen für überbestimmte Systeme durch die Suche nach Modellparametern, die die Summe der quadratischen Differenzen zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten minimieren. Diese Summe ist bekannt als die Summe der quadrierten Residuen (SSR). Ziel ist es, die Parameter [latex]\hat{\beta}[/latex] zu finden, die die Funktion [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex] minimieren.