Turing Completeness

同构是两个拓扑空间之间的连续函数，它有一个连续的反函数。如果存在这样的函数，两个拓扑空间就被称为同构。从拓扑学的角度来看，同构空间是相同的。这一概念体现了这样一种思想，即一个物体可以被拉伸、弯曲或变形为另一个物体，而不会撕裂或粘连，就像一个咖啡杯可以变成一个甜甜圈。

该定理指出，对于映射紧凑凸集到自身的任何连续函数 [latex]f[/latex]，存在一个点 [latex]x_0[/latex]，使得 [latex]f(x_0) = x_0[/latex]。这个点称为定点。非正式地讲，如果把一个国家的地图揉成一团，然后放在这个国家的边界内，那么地图上总会有至少一个点在其对应的现实世界位置的正上方。

Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件是使用显式时间积分方案对双曲偏微分方程进行数值求解的必要稳定性准则。它规定，时间步长必须足够小，以保证每个时间步的信息传输距离不超过一个空间网格单元。对于一维情况，[latex]C = u \frac\{Delta t}\{Delta x} \le C_{max}[/latex]，确保了数值稳定性。

可靠性函数 R(t)定义了系统或部件在指定时间 "t "内无故障地执行其所需功能的概率。对于故障率（λ）恒定的系统来说，它可以用指数分布来描述：[latex]R(t) = e^{-\lambda t}[/latex].该函数是预测产品寿命和性能的基础。

A classic illustration of the Monte Carlo method is estimating the value of [latex]\pi[/latex]. By inscribing a circle of radius [latex]r[/latex] within a square of side length [latex]2r[/latex], the ratio of their areas is [latex]\frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}[/latex]. Randomly scattering points within the square and counting the fraction [latex]p[/latex] that fall inside the circle provides an estimate: [latex]\pi \approx 4p[/latex].

G 代码（正式名称为 RS-274）是用于控制 CNC 机床的最常用编程语言。它由一系列顺序命令组成，用于指示机床的定位、速度和特定操作。命令以字母地址开头；“G”表示运动准备命令（例如，G01 表示线性进给），而“M”表示辅助功能（例如，M03 表示主轴启动）。

数字电子技术以布尔代数为基础，布尔代数是乔治-布尔提出的一种数学逻辑系统。它使用两个值，通常是 0 和 1（或假和真），以及三种基本运算：AND（连接）、OR（析取）和 NOT（否定）。这些运算直接对应于构成所有数字电路构件的逻辑门。

The Prime Number Theorem describes the asymptotic distribution of prime numbers among the integers. It states that the prime-counting function [latex]\pi(x)[/latex], which gives the number of primes less than or equal to [latex]x[/latex], is asymptotically equivalent to [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formally, [latex]\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. This provides a fundamental link between primes and the natural logarithm.

拓扑空间是有序对 [latex]（X，\tau）[/latex]，其中 [latex]X[/latex] 是一个集合，[latex]\tau[/latex] 是 [latex]X[/latex] 的子集集合，称为开集，满足三个公理：1）空集 [latex]\emptyset[/latex] 和 [latex]X[/latex] 本身都在 [latex]\tau[/latex] 中。2) [latex]\tau[/latex] 中任意多个集合的联合也在 [latex]\tau[/latex] 中。3）[latex]\tau[/latex] 中任意有限个集合的交集也在 [latex]\tau[/latex] 中。

有限元法 (FEM) 是一种强大的数值方法，用于求解由偏微分方程描述的复杂工程和物理问题。它的工作原理是将连续域离散化为一组更小、更简单的子域，这些子域被称为“有限元”。这可以用于结构分析、传热、流体流动和电磁学等问题的近似数值解。

插补是 CNC 控制器内的计算过程，它生成一系列中间坐标点，以在编程的端点之间创建平滑路径。最基本的插补类型是用于直线的线性插补 (G01) 和用于圆弧的圆弧插补 (G02/G03)。这使得可以通过 G 代码程序中的简单几何命令来加工复杂的轮廓。