特征线法（数学）

偏微分方程（PDE）是在一个多变量函数的各个偏导数之间建立关系的方程。函数通常被称为未知数，而偏微分方程则描述了未知函数与其导数之间的关系。与涉及单变量函数的常微分方程 (ODE) 不同，偏微分方程是多维系统建模的基础。

希尔伯特的零点定理（德语为 "零点定理"）在几何和代数之间建立了基本的对应关系。它指出，对于代数闭域 [latex]k[/latex]，如果多项式 [latex]p[/latex] 在理想 [latex]I[/latex] 的零集上消失，那么 [latex]p[/latex] 的某个幂必定属于 [latex]I[/latex]。形式上，[latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex]，即 [latex]I[/latex] 的根。

Sheaf cohomology 是现代代数几何中研究几何空间全局性质的核心工具。对于空间 [latex]X[/latex] 上的 Sheaf [latex]/mathcal{F}[/latex]，同调群 [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] 是向量空间，其维度提供了重要的不变式。群 [latex]H^0[/latex] 代表全局截面，而 [latex]i > 0[/latex] 的更高群 [latex]H^i[/latex] 则测量将局部截面拼接成全局截面的障碍。

贝祖特定理是交点理论中的一个基本定理。它断言，只要在代数闭域上的投影面中工作，计算具有多重性的点，并包括平行渐近线相交的无穷远处的点，两条度数分别为 [latex]m[/latex] 和 [latex]n[/latex] 的平面代数曲线的交点数正好是 [latex]mn[/latex]。

与柯西初值问题相关的偏微分方程的基本存在唯一性定理。该定理指出，如果偏微分方程和初始条件是“解析的”（可以用收敛幂级数表示），则在初始曲面的邻域中存在唯一解析解。它提供了局部存在性的保证，但并未解决全局行为或适定性问题。

仿射变换是仿射空间中点的集合，其坐标是一组有限多项式的公共零点。对于多项式环 [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex] 中的一组多项式 [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex], 相应的仿射变换是 [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ for all } f \in S\}[/latex].它是经典代数几何的核心研究对象。