（画像はイメージです）
流体や固体などの連続系では、運動量保存則は微分形式で表されます。ある点における運動量密度 [latex]rho vec{v}[/latex] の変化率は、コーシー応力テンソル [latex]sigma[/latex] と体積力 [latex]vec{f}[/latex] の発散によって決まります。これは、コーシー運動量方程式 [latex]frac{partial (rho vec{v})}{partial t} + nabla cdot (rho vec{v} otimes vec{v}) = nabla cdot sigma + vec{f}[/latex] で表されます。
When dealing with a continuum, such as a fluid or a deformable solid, it is impractical to track individual particles. Instead, we describe the system using fields like density ([latex]\rho[/latex]), velocity ([latex]\vec{v}[/latex]), and stress ([latex]\sigma[/latex]) that vary continuously in space and time. The principle of momentum conservation is applied to an infinitesimal volume element within the continuum.
The Cauchy momentum equation is essentially Newton’s second law applied to this volume element. The term [latex]\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t}[/latex] represents the rate of change of momentum within the volume. The term [latex]\nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v})[/latex] represents the net rate of momentum flow out of the volume (advection). The term [latex]\nabla \cdot \sigma[/latex] represents the surface forces acting on the volume element due to stress from the surrounding material. The Cauchy stress tensor [latex]\sigma[/latex] is a second-order tensor that describes the state of stress at a point. Finally, [latex]\vec{f}[/latex] represents the body forces (like gravity) acting on the volume.
This equation is a cornerstone of continuum mechanics. When combined with the continuity equation (conservation of mass) and an equation of state, it forms the basis for the Navier-Stokes equations, which are fundamental to fluid dynamics.
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Continua における運動量の維持
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
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