(설명을 위한 생성된 이미지입니다)
유체나 고체와 같은 연속적인 시스템의 경우, 운동량 보존은 미분 형태로 표현됩니다. 한 지점에서의 운동량 밀도 [latex]rho vec{v}[/latex]의 변화율은 코시 응력 텐서 [latex]sigma[/latex]와 체적력 [latex]vec{f}[/latex]의 발산에 의해 결정됩니다. 이는 코시 운동량 방정식 [latex]frac{partial (rho vec{v})}{partial t} + nabla cdot (rho vec{v} otimes vec{v}) = nabla cdot sigma + vec{f}[/latex]로 나타낼 수 있습니다.
When dealing with a continuum, such as a fluid or a deformable solid, it is impractical to track individual particles. Instead, we describe the system using fields like density ([latex]\rho[/latex]), velocity ([latex]\vec{v}[/latex]), and stress ([latex]\sigma[/latex]) that vary continuously in space and time. The principle of momentum conservation is applied to an infinitesimal volume element within the continuum.
The Cauchy momentum equation is essentially Newton’s second law applied to this volume element. The term [latex]\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t}[/latex] represents the rate of change of momentum within the volume. The term [latex]\nabla \cdot (\rho \vec{v} \otimes \vec{v})[/latex] represents the net rate of momentum flow out of the volume (advection). The term [latex]\nabla \cdot \sigma[/latex] represents the surface forces acting on the volume element due to stress from the surrounding material. The Cauchy stress tensor [latex]\sigma[/latex] is a second-order tensor that describes the state of stress at a point. Finally, [latex]\vec{f}[/latex] represents the body forces (like gravity) acting on the volume.
This equation is a cornerstone of continuum mechanics. When combined with the continuity equation (conservation of mass) and an equation of state, it forms the basis for the Navier-Stokes equations, which are fundamental to fluid dynamics.
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Continua의 운동량 보존
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