Il postulato della parallela (5° postulato di Euclide)

I solidi platonici sono gli unici cinque poliedri regolari convessi: un poliedro regolare ha facce poligonali regolari congruenti e lo stesso numero di facce che si incontrano in ogni vertice. I cinque solidi sono il tetraedro (4 facce), il cubo (6 facce), l'ottaedro (8 facce), il dodecaedro (12 facce) e l'icosaedro (20 facce). La loro simmetria e le loro proprietà sono state studiate fin dall'antichità.

Noto anche come metodo degli indivisibili, questo principio afferma che se due solidi compresi tra due piani paralleli hanno la proprietà che ogni piano parallelo ai due piani dati li interseca in sezioni trasversali di area uguale, allora i due solidi hanno volumi uguali. Si tratta di un potente metodo per calcolare i volumi di forme complesse senza ricorrere al calcolo.

Si tratta di un problema storicamente notevole in matematica. La sua risoluzione negativa da parte di Leonhard Euler nel 1736 ha posto le basi della teoria dei grafi e ha prefigurato l'idea di topologia. Il problema chiedeva se i sette ponti della città di Königsberg potessero essere attraversati tutti in un solo viaggio senza tornare indietro, e se il viaggio terminasse sulla stessa terraferma da cui era partito.

Teorema fondamentale della topologia e della geometria secondo il quale, per qualsiasi poliedro convesso, il numero di vertici (V), spigoli (E) e facce (F) è legato dalla formula [latex]V - E + F = 2[/latex]. Questo valore, 2, è la caratteristica di Eulero di una sfera, che rivela una profonda proprietà topologica indipendente dalla forma specifica del poliedro.

One of the earliest problems in geometric probability, it is considered a precursor to the Monte Carlo method. It involves dropping a needle of length [latex]l[/latex] onto a floor with parallel lines a distance [latex]t[/latex] apart. The probability that the needle will cross a line is [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (for [latex]l \le t[/latex]). This provides a physical experiment to estimate [latex]\pi[/latex].

A standard approach for approximating solutions to overdetermined systems by finding model parameters that minimize the sum of the squared differences between observed and predicted values. This sum is known as the sum of squared residuals (SSR). The goal is to find the parameters [latex]\hat{\beta}[/latex] that minimize the function [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

I cinque postulati di Euclide costituiscono la base assiomatica della geometria euclidea, così come descritta nel suo trattato "Elementi". Sono assunti fondamentali da cui derivano logicamente tutti gli altri teoremi. I primi quattro riguardano la costruzione di rette e cerchi, mentre il quinto, il postulato delle parallele, definisce in modo univoco la natura piana e non curva dello spazio euclideo. Questi assiomi hanno fondato il metodo deduttivo in matematica.

Un teorema fondamentale della geometria euclidea afferma che la somma delle misure dei tre angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre uguale a due angoli retti, o a 180 gradi. Questa proprietà, [latex]\alfa + \beta + \gamma = 180^circ[/latex], è una conseguenza diretta del postulato delle parallele e vale per tutti i triangoli, indipendentemente dalla loro dimensione o forma, all'interno di un piano euclideo.

Il teorema di Pitagora è una relazione fondamentale della geometria euclidea tra i tre lati di un triangolo rettangolo. Esso afferma che l'area del quadrato il cui lato è l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma delle aree dei quadrati degli altri due lati. La formula è espressa come [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex].

Il sistema di coordinate cartesiane fornisce un modello algebrico per la geometria euclidea. Utilizza uno o più numeri, o coordinate, per determinare in modo univoco la posizione di un punto nello spazio. In un piano, vengono utilizzate due rette perpendicolari (gli assi x e y), consentendo di descrivere le forme geometriche mediante equazioni algebriche. Questa fusione di algebra e geometria è nota come geometria analitica.

Equazione differenziale parziale lineare iperbolica del secondo ordine che regola la propagazione di vari tipi di onde. Nella sua forma più semplice, si scrive come [latex]\frac{parziale^2 u}{parziale t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è l'ampiezza dell'onda, [latex]c[/latex] è la velocità dell'onda e [latex]\nabla^2[/latex] è l'operatore di Laplace. Modella fenomeni come le corde vibranti, le onde sonore e le onde luminose.

La caratteristica di Eulero è un invariante topologico, un numero che descrive la struttura o la forma di uno spazio topologico indipendentemente da come viene piegato. Per i poliedri, è definita dalla formula [latex]\chi = V - E + F[/latex], dove V, E e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce. Per una sfera, [latex]\chi = 2[/latex], mentre per un toro, [latex]\chi = 0[/latex].

Equazione differenziale parziale ellittica lineare del secondo ordine che descrive sistemi in condizioni di equilibrio o di stato stazionario. Si scrive come [latex]nabla^2 u = 0[/latex] o [latex]Delta u = 0[/latex], dove [latex]nabla^2[/latex] (o [latex]Delta[/latex]) è l'operatore di Laplace. Le soluzioni, chiamate funzioni armoniche, sono le funzioni più uniformi possibili e rappresentano i potenziali in campi come l'elettrostatica, la gravitazione e il flusso dei fluidi.

Equazione differenziale parziale parabolica lineare fondamentale del secondo ordine che descrive la distribuzione del calore o altri processi di diffusione. La sua forma canonica è [latex]\frac{parziale u}{parziale t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], dove [latex]u(\vec{x},t)[/latex] è la temperatura, [latex]t[/latex] è il tempo e [latex]\alpha[/latex] è la diffusività termica. Le soluzioni modellano l'evoluzione della distribuzione iniziale della temperatura, attenuando le irregolarità nel tempo e avvicinandosi a uno stato stazionario.