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Il cerchio di Mohr per lo stress

1882-01-01
  • Christian Otto Mohr
Mohr's Circle diagram in an engineering workspace for continuum mechanics applications.

(Immagine generata a solo scopo illustrativo)

Il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica bidimensionale del Tensore delle sollecitazioni di Cauchy. Visualizza la trasformazione della normalità stress ([latex]\sigma_n[/latex]) and sforzo di taglio ([latex]\tau_n[/latex]) on an arbitrarily oriented plane at a point. The abscissa of each point on the circle is the normal stress, and the ordinate is the shear stress, allowing for easy determination of principal stresses.

Il cerchio di Mohr fornisce un potente strumento grafico per comprendere lo stato di sollecitazione in un punto all'interno di un corpo continuo. Per qualsiasi stato di sollecitazione bidimensionale definito dalle sollecitazioni normali [latex]sigma_x[/latex], [latex]sigma_y[/latex] e dalla sollecitazione di taglio [latex]tau_{xy}[/latex], il cerchio permette di trovare le sollecitazioni su qualsiasi piano passante per quel punto. Il centro del cerchio si trova sull'asse [latex]sigma_n[/latex] in [latex]C = (sigma_{avg}, 0)[/latex], dove [latex]sigma_{avg} = (sigma_x + sigma_y)/2[/latex]. Il raggio del cerchio viene calcolato come [latex]R = sqrt{left(frac{sigma_x – sigma_y}{2}right)^2 + tau_{xy}^2}[/latex]. Ogni punto sulla circonferenza del cerchio rappresenta lo stato di sollecitazione ([latex]sigma_n, tau_n[/latex]) su un piano specifico. Una rotazione di un angolo [latex]theta[/latex] del piano fisico corrisponde a una rotazione di [latex]2theta[/latex] sul cerchio di Mohr nella stessa direzione. Questo metodo grafico evita elegantemente la necessità di risolvere direttamente le equazioni di trasformazione delle sollecitazioni per ogni angolo, rendendolo un metodo intuitivo ed efficiente per ingegneri e fisici.

Storicamente, Christian Otto Mohr sviluppò questo metodo nel 1882. Rappresentò un significativo progresso rispetto ai metodi puramente analitici, fornendo un supporto visivo che semplificò notevolmente la complessa matematica della trasformazione delle tensioni. Prima di Mohr, gli ingegneri si affidavano alla formulazione del tensore delle tensioni di Augustin-Louis Cauchy, che era potente ma meno intuitiva per le applicazioni pratiche di progettazione. L'approccio grafico di Mohr rese accessibili i concetti di tensioni principali e tensione di taglio massima, fondamentali per prevedere la rottura dei materiali secondo teorie come i criteri di Tresca o di von Mises.

UNESCO Nomenclature: 2203
Meccanica classica

Tipo

Sistema astratto

Interruzione

Sostanziale

Utilizzo

Uso diffuso

Precursori

  • La teoria del tensore degli stress di Cauchy
  • Principles of stress transformation equations
  • Coordinate geometry and the equation of a circle
  • L'opera di Eulero sugli assi principali di inerzia

Applicazioni

  • structural engineering for designing beams and columns
  • geotechnical engineering for analyzing soil and rock stability
  • mechanical engineering for designing machine components under load
  • materials science for studying failure criteria

Brevetti:

NA

Idee e potenziali innovazioni

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Argomenti correlati: cerchio di Mohr, analisi delle sollecitazioni, meccanica del continuo, metodo grafico, sollecitazione principale, sollecitazione di taglio, tensore delle sollecitazioni di Cauchy, meccanica dei solidi, ingegneria strutturale, ingegneria geotecnica.

Contesto storico

Il cerchio di Mohr per lo stress

1873
1877
1880
1882-01-01
1883
1884
1887
1871
1876
1877
1880
1882-01-01
1884
1885
1887

(se la data è sconosciuta o non rilevante, ad esempio "meccanica dei fluidi", viene fornita una stima approssimativa della sua notevole comparsa)

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