(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
पारसेवल का प्रमेय किसी सिग्नल की कुल ऊर्जा (एक अवधि में उसके वर्ग का समाकलन) को उसके सभी सिग्नलों की वर्ग ऊर्जाओं के योग से संबंधित करता है। फूरियर श्रृंखला components. For a function [latex]s(x)[/latex] with period [latex]P[/latex], the theorem states: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], where [latex]c_n[/latex] are the complex फूरियर coefficients.
पारसेवल का प्रमेय फूरियर विश्लेषण में एक मूलभूत परिणाम है जो सिद्धांत को व्यक्त करता है। ऊर्जा संरक्षण आवृत्ति डोमेन में। इसका मूलतः अर्थ यह है कि फूरियर रूपांतरण यह एक एकात्मक रूपांतरण है। समीकरण का बायां पक्ष, [latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx[/latex], एक आवर्तकाल में सिग्नल [latex]s(x)[/latex] की औसत शक्ति को दर्शाता है। दायां पक्ष, [latex]sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex], सिग्नल के सभी व्यक्तिगत हार्मोनिक घटकों की औसत शक्तियों का योग है। प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि ये दोनों राशियाँ बराबर हैं।
इसका अर्थ यह है कि किसी सिग्नल को उसके फूरियर घटकों में विघटित करने से ऊर्जा का सृजन या विनाश नहीं होता; यह केवल उसे विभिन्न आवृत्तियों के बीच पुनर्वितरित करता है। गुणांक [latex]a_n[/latex] और [latex]b_n[/latex] वाली वास्तविक-मान फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में, प्रमेय का रूप इस प्रकार है: [latex]frac{1}{P} int_P s(x)^2 , dx = frac{a_0^2}{4} + frac{1}{2} sum_{n=1}^{infty} (a_n^2 + b_n^2)[/latex]। यह प्रमेय इंजीनियरिंग और भौतिकी में किसी सिग्नल की शक्ति या ऊर्जा की गणना उसके आवृत्ति स्पेक्ट्रम से सीधे करने के लिए अत्यंत उपयोगी है, जो अक्सर समय डोमेन में समाकलन करने की तुलना में आसान होता है।
पारसेवल का प्रमेय
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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