Variétés différentiables (géom)

Équation différentielle partielle parabolique linéaire fondamentale du second ordre décrivant la distribution de la chaleur ou d'autres processus de diffusion. Sa forme canonique est [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], où [latex]u(\vec{x},t)[/latex] est la température, [latex]t[/latex] est le temps et [latex]\alpha[/latex] est la diffusivité thermique. Les solutions modélisent l'évolution d'une distribution initiale de la température, lissant les irrégularités au fil du temps et s'approchant d'un état stable.

Une solution fondamentale d'un opérateur différentiel partiel linéaire [latex]L[/latex] est une solution à l'équation [latex]Lu = delta(x)[/latex], où [latex]delta(x)[/latex] est la fonction delta de Dirac. Elle représente la réponse du système à une source ponctuelle ou à une impulsion. Une fois connue, la solution de l'équation inhomogène [latex]Lu = f(x)[/latex] peut être trouvée par convolution : [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], où [latex]G[/latex] est la solution fondamentale.

Les lois de Morgan sont une paire de règles de transformation de l'algèbre de Boole qui sont fondamentales pour la conception de circuits numériques. La première loi stipule que la négation d'une conjonction est la disjonction des négations : [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. La seconde stipule que la négation d'une disjonction est la conjonction des négations : [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

L'électronique numérique est basée sur l'algèbre de Boole, un système mathématique de logique introduit par George Boole. Elle utilise deux valeurs, généralement 0 et 1 (ou faux et vrai), et trois opérations de base : AND (conjonction), OR (disjonction) et NOT (négation) : ET (conjonction), OU (disjonction) et SAUF (négation). Ces opérations correspondent directement aux portes logiques qui constituent les éléments de base de tous les circuits numériques.

The Prime Number Theorem describes the asymptotic distribution of prime numbers among the integers. It states that the prime-counting function [latex]\pi(x)[/latex], which gives the number of primes less than or equal to [latex]x[/latex], is asymptotically equivalent to [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formally, [latex]\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. This provides a fundamental link between primes and the natural logarithm.

Ce théorème stipule que pour toute fonction continue [latex]f[/latex] cartographiant un ensemble convexe compact à lui-même, il existe un point [latex]x_0[/latex] tel que [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Ce point est appelé point fixe. De manière informelle, si vous prenez une carte d'un pays, que vous la chiffonnez et que vous la placez à l'intérieur des frontières du pays, il y aura toujours au moins un point sur la carte directement au-dessus de l'emplacement correspondant dans le monde réel.

A standard approach for approximating solutions to overdetermined systems by finding model parameters that minimize the sum of the squared differences between observed and predicted values. This sum is known as the sum of squared residuals (SSR). The goal is to find the parameters [latex]\hat{\beta}[/latex] that minimize the function [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

Le théorème Egregium (en latin "Théorème remarquable") stipule que la courbure gaussienne d'une surface est une propriété intrinsèque. Cela signifie qu'elle ne dépend que de la façon dont les distances sont mesurées sur la surface elle-même, et non de la façon dont la surface est intégrée dans l'espace tridimensionnel. Une feuille de papier plate peut être roulée en cylindre mais pas en sphère sans s'étirer.

Le théorème de Gauss-Bonnet relie la géométrie d'une surface compacte à deux dimensions à sa topologie. Il stipule que l'intégrale de la courbure gaussienne [latex]K[/latex] sur l'ensemble de la surface [latex]M[/latex] est égale à [latex]2\pi[/latex] fois la caractéristique d'Euler [latex]\chi(M)[/latex] de la surface. La formule est [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

L'exactitude désigne la proximité d'une valeur mesurée par rapport à une norme ou à une valeur réelle connue. La précision fait référence à la proximité de deux ou plusieurs mesures entre elles. Un système de mesure peut être précis mais pas exact, exact mais pas précis, ni l'un ni l'autre, ou les deux. Ces deux concepts sont indépendants l'un de l'autre dans la théorie de la mesure.

La géométrie riemannienne est la branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés riemanniennes, c'est-à-dire des variétés lisses dotées d'une métrique riemannienne. Cette métrique est un ensemble de produits scalaires sur les espaces tangents, variant de manière uniforme d'un point à un autre. Elle permet de définir des notions géométriques locales telles que l'angle, la longueur des courbes, l'aire et le volume, conduisant à une notion généralisée de courbure.

Un homéomorphisme est une fonction continue entre deux espaces topologiques qui possède une fonction inverse continue. Deux espaces topologiques sont dits homéomorphes si une telle fonction existe. D'un point de vue topologique, les espaces homéomorphes sont identiques. Ce concept traduit l'idée qu'un objet peut être étiré, plié ou déformé en un autre sans être déchiré ou collé, comme une tasse à café dans un beignet.

A statistic indicating the goodness of fit of a model, representing the proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s). An R² of 1 indicates a perfect fit, while 0 indicates no linear relationship. It is calculated as [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], where [latex]SS_{res}[/latex] is the residual sum of squares.

Un espace topologique est une paire ordonnée [latex](X, \tau)[/latex], où [latex]X[/latex] est un ensemble et [latex]\tau[/latex] est une collection de sous-ensembles de [latex]X[/latex], appelés ensembles ouverts, satisfaisant à trois axiomes : 1) L'ensemble vide [latex]\emptyset[/latex] et [latex]X[/latex] lui-même sont dans [latex]\tau[/latex]. 2) L'union d'un nombre quelconque d'ensembles dans [latex]\tau[/latex] est également dans [latex]\tau[/latex]. 3) L'intersection d'un nombre fini quelconque d'ensembles dans [latex]\tau[/latex] est aussi dans [latex]\tau[/latex].