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Variétés différentiables (géom)

1854
  • Bernhard Riemann
Parchemin détaillant les variétés différentiables dans une salle d'étude historique.

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Un collecteur différentiable est un espace topologique qui est localement similaire à l'espace euclidien, ce qui permet d'appliquer le calcul. Chaque point a un voisinage homéomorphe à un sous-ensemble ouvert de [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Ces systèmes de coordonnées locales, appelés diagrammes, sont reliés par des fonctions de transition lisses, formant un atlas qui définit la structure différentiable du manifold.

Un collecteur différentiable est l'objet d'étude central de la géométrie différentielle. Ce concept formalise l'idée d'un "espace courbe" de toute dimension. Alors que globalement un collecteur peut être complexe (comme une sphère ou un tore), localement, autour de n'importe quel point, il ressemble à un morceau plat de l'espace euclidien. Cette "planéité" locale est essentielle, car elle nous permet d'utiliser les outils du calcul à plusieurs variables.

The formal definition involves a set of points M, a topology on M, and an atlas. An atlas is a collection of charts, where each chart is a pair (U, φ), with U being an open subset of M and φ being a homéomorphisme from U to an open subset of [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. For any two overlapping charts, (U, φ) and (V, ψ), the transition map [latex]\psi \circ \phi^{-1}[/latex] from [latex]\phi(U \cap V)[/latex] to [latex]\psi(U \cap V)[/latex] must be a diffeomorphism (infinitely differentiable with a differentiable inverse). This compatibility condition ensures that calculus performed in one coordinate system is consistent with calculus performed in another.

Cette structure permet de définir des espaces tangents, des champs de vecteurs et des formes différentielles sur la variété, indépendamment de tout système de coordonnées particulier. Elle fournit un cadre pour l'étude intrinsèque de la géométrie, sans qu'il soit nécessaire d'intégrer l'espace dans un espace ambiant de dimension supérieure.

UNESCO Nomenclature: 1204
- Géométrie

Taper

Système abstrait

Perturbation

Fondamentaux

Usage

Utilisation généralisée

Précurseurs

  • géométrie euclidienne
  • Géométries non euclidiennes (Lobachevsky, Bolyai)
  • Théorie des surfaces de Carl Friedrich Gauss
  • Systèmes de coordonnées de René Descartes
  • Premiers concepts de topologie

Applications

  • relativité générale (l'espace-temps est modélisé comme une variété lorentzienne 4D)
  • robotique (les espaces de configuration des robots sont des variétés)
  • infographie (représentant des surfaces complexes)
  • théorie des cordes
  • mécanique classique (l'espace des phases est une variété symplectique)

Brevets:

NA

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