Statistical tests are the only way in quality and manufacturing to provide objective evidence for decision-making. They help identify variations in processes and distinguish between random fluctuations and actual problems. In engineering, statistics help identify patterns, outliers, and sources of failure in system performance, ensuring data-driven decision-making. By rigorously analyzing experimental results, engineers can validate product designs and manufacturing processes, detecting potential problems before implementation. This systematic approach reduces the risk of unexpected failures and enhances overall safety by ensuring reliability and compliance with international safety padrões.
Este artigo analisará os principais testes estatísticos utilizados na indústria de manufatura e Gestão da Qualidade Total (TQM).
Nota: como também dizem respeito à engenharia, pesquisa e ciência, seguem os 2 testes e análises estatísticas.
- Análise de correlação: mede a força e a direção da relação entre duas variáveis (por exemplo, Pearson coeficiente de correlação).
- Análise de regressão: Analisa a relação entre variáveis (por exemplo, fatores de entrada e saída do processo), desde regressão linear simples até regressão múltipla.
Não estão incluídos aqui, mas sim em um artigo específico sobre os 10 principais algoritmos para engenharia.
Testes de normalidade
No mundo dos testes estatísticos, muitos métodos comuns (testes t, ANOVA, regressão linear, etc.) pressupõem que os dados seguem uma distribuição normal/gaussiana (ou que os resíduos/erros seguem uma distribuição normal). Violar essa premissa pode tornar os resultados não confiáveis: os valores p podem ser enganosos, os intervalos de confiança podem estar incorretos e o risco de erros do Tipo I/II aumenta. Observe que alguns testes, como a ANOVA de uma via, podem lidar razoavelmente bem com uma distribuição não normal.
Observação: se seus dados não forem normalmente distribuídos (veja exemplos reais abaixo), talvez seja necessário usar testes não paramétricos (como o teste U de Mann-Whitney ou o teste de Kruskal-Wallis), que não pressupõem normalidade, ou transformar seus dados, o que está fora do escopo desta publicação.
Embora existam vários testes estatísticos para isso, detalharemos aqui o teste de Shapiro-Wilk, famoso especialmente para tamanhos de amostra pequenos, tipicamente n < 50, mas que pode ser usado até 2000.
Para sua informação, outros testes de normalidade comuns:
- Teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) (com correção de Lilliefors): apresenta melhor desempenho com amostras maiores, porém é menos sensível que o teste de Shapiro-Wilk, especialmente para conjuntos de dados pequenos.
- O teste de Anderson-Darling é eficaz com todos os tamanhos de amostra e apresenta maior sensibilidade nas caudas (extremos) da distribuição, sendo também mais eficaz na detecção de desvios da normalidade nos extremos.
Como realizar o teste de normalidade de Shapiro-Wilk
1. Calcule ou determine a estatística do teste de Shapiro-Wilk (W): (W = frac{left(sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}right)^2}{sum_{i=1}^{n} (x_i – bar{x})^2})Nota: como o cálculo dos coeficientes (a_i) não é trivial e geralmente requer uma tabela ou algoritmo, o teste de Shapiro-Wilk é quase sempre calculado por softwares como R, SciPy do Python ou MS Excel complementos ou outros softwares dedicados. Para um cálculo manual, consulte esta página. fornece todos os coeficientes (a_i) e o valor p para amostras de até 50. O valor de W varia entre 0 e 1 (W = 1: normalidade perfeita. W < 1: quanto mais distante de 1, menos normais são os seus dados). 2. O valor de W não é suficiente. Ele funciona em conjunto com o seu respectivo valor p para determinar o nível de confiança. Na tabela de Shapiro-Wilk, em Na linha correspondente ao tamanho da amostra n, procure o valor mais próximo do valor calculado de W e obtenha o valor correspondente. valor p no topo | O numerador representa a soma ao quadrado dos valores da amostra ordenada ponderada. O denominador é a soma dos quadrados dos desvios da média da amostra (ou seja, a variância da amostra, escalonada por (n-1)). (x_{(i)}) = a i-ésima estatística de ordem (ou seja, o i-ésimo menor valor na amostra) (x_i) = o i-ésimo valor observado (bar{x}) = a média da amostra (a_i) = constantes (pesos) calculadas a partir da média, variâncias e covariâncias das estatísticas de ordem de uma amostra de uma distribuição normal padrão ((N(0,1))), e dependem apenas de n (tamanho da amostra). n = tamanho da amostra |
3. Resultado: Se o valor p for maior que o nível alfa escolhido (exemplo: 0,05), há evidências estatísticas de que os dados testados têm distribuição normal. | |
Para testes de normalidade, é frequentemente aconselhável combinar um método numérico com um método gráfico, como a linha de Henry, gráficos QQ ou histogramas:
Atenção às distribuições não normais!
Embora a distribuição normal/gaussiana seja a mais frequente, não se deve assumi-la automaticamente. Alguns exemplos que contradizem essa tendência no dia a dia são:
- Distribuição de riqueza e renda entre indivíduos. Segue uma distribuição de Pareto (lei de potência), assimétrica com uma "cauda longa" de indivíduos muito ricos.
- O tamanho da população das cidades em um país segue a Lei de Zipf (lei de potência), com algumas cidades muito grandes e muitas cidades pequenas.
- A magnitude e a frequência dos terremotos seguem uma distribuição de lei de potência/Gutenberg-Richter: terremotos de pequena magnitude são comuns, enquanto os de grande magnitude são raros.
- Variações diárias de preços ou retornos nos mercados financeiros: distribuições com caudas pesadas, não gaussianas; grandes desvios ocorrem com mais frequência do que o previsto por uma distribuição normal.
- A frequência das palavras em uma língua, como a população da cidade acima, segue a Lei de Zipf (lei de potência): poucas palavras são usadas com frequência, a maioria das palavras é rara.
- Tráfego de internet/popularidade de sites: lei de potência/cauda longa: alguns sites têm milhões de acessos, a maioria tem muito poucos.
- Tamanho dos arquivos em sistemas de computador: segue uma distribuição log-normal ou de lei de potência, com alguns arquivos muito grandes e muitos pequenos.
- Expectativa de vida/longevidade humana: assimetria à direita (pode ser modelada com Weibull ou distribuições de Gompertz), não normais; mais pessoas morrem em idades mais avançadas.
- As conexões em redes sociais seguem uma lei de potência: poucos usuários têm muitas conexões; a maioria tem poucas.
A maioria delas é caracterizada por "poucos valores grandes, muitos valores pequenos", uma assinatura de leis de potência, caudas pesadas, distribuições exponenciais ou log-normais, e não pela forma simétrica da distribuição gaussiana.
O teste t (teste t de Student)
O teste t (também conhecido como "t de Student"), desenvolvido por William Sealy Gosset sob o pseudônimo de "Student" em 1908, é um teste estatístico usado para comparar médias quando os tamanhos das amostras são pequenos e a variância da população é desconhecida. Com foco na comparação das médias de duas populações, é um dos testes mais utilizados na indústria.
Propósito: O teste t ajuda engenheiros e profissionais da qualidade a determinar se existe uma diferença estatisticamente significativa entre as médias de dois grupos ou entre a média de uma amostra e um padrão conhecido. É comumente usado em testes de hipóteses para avaliar se mudanças no processo ou modificações no produto têm impacto significativo. liderado para melhorias ou diferenças reais, além do que se poderia esperar pelo acaso.
Exemplos práticos na indústria:
- Na fabricação de automóveis, um teste t pode ser usado para comparar a resistência à tração do aço de dois fornecedores diferentes, a fim de garantir uma qualidade consistente.
- Na indústria farmacêutica, o teste t é utilizado para analisar se um novo processo de produção gera comprimidos com peso médio significativamente diferente do padrão.
- Na área da eletrônica, os engenheiros podem usar o teste t para verificar se um mudança de design em um placa de circuito resulta em uma melhoria mensurável na resistência elétrica.
Como realizar o teste t de Student
Existem muitas variantes do teste t; o exemplo aqui se concentrará no chamado "teste t de duas amostras" em sua versão "não pareada", comparando as amostras de 2 lotes de produção diferentes.
- Enuncie suas hipóteses nula e alternativa; neste exemplo, "não há diferença entre as médias" versus "há diferenças".
- Reúna os dados dos dois lotes de produção que estão sendo comparados e calcule.
- as 2 médias amostrais (bar{X} = frac{1}{n_1} sum_{i=1}^{n_1} X_i) e (bar{Y} = frac{1}{n_2} sum_{j=1}^{n_2} Y_j)
- Calcule as duas variâncias amostrais: (S_X^2 = frac{1}{n_1-1} sum_{i=1}^{n_1} (X_i – bar{X})^2) e (S_Y^2 = frac{1}{n_2-1} sum_{j=1}^{n_2} (Y_j – bar{Y})^2)
- tamanhos de amostra.
- Calcule a estatística de teste. Embora o método assuma que ambas as amostras são independentes e que ambas as amostras provêm de populações com distribuição normal, ainda existem dois casos:
- se as variâncias forem iguais (teste t agrupado): Variância agrupada: (S_p^2 = frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 })
Estatística de teste: (t = frac{ bar{X} – bar{Y} }{ S_p sqrt{ frac{1}{n_1} + frac{1}{n_2} } }) - se variâncias desiguais (Teste t de Welch): Estatística de teste: (t = frac{ bar{X} – bar{Y} }{ sqrt{ frac{S_X^2}{n_1} + frac{S_Y^2}{n_2} } }) Graus de liberdade (aproximados, Welch-Satterthwaite): (df = frac{left( frac{S_X^2}{n_1} + frac{S_Y^2}{n_2} right)^2}{ frac{ (S_X^2 / n_1)^2 }{ n_1 – 1 } + frac{ (S_Y^2 / n_2)^2 }{ n_2 – 1 } })
- se as variâncias forem iguais (teste t agrupado): Variância agrupada: (S_p^2 = frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 })
- Use o valor calculado (t) e os graus de liberdade ((n_1+n_2-2) para variâncias iguais, ou a fórmula de Welch) para consultar ou calcular o valor p da distribuição t (dependendo se é um teste unilateral ou bilateral).
- Resultado: Compare o valor t calculado com o valor t crítico das tabelas estatísticas, com base no seu nível de confiança e graus de liberdade escolhidos; alternativamente, utilize um software para calcular o valor p. Se a estatística t exceder o valor crítico ou o valor p for inferior ao seu limite (normalmente 0,05), rejeite a hipótese nula.
Link para tabela de valores críticos do teste t
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