Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de primer orden e hiperbólicas de segundo orden. El método reduce una EDP a una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a lo largo de curvas específicas llamadas «características». A lo largo de estas curvas, la EDP se simplifica, lo que permite encontrar la solución mediante la integración del sistema de EDO. Es especialmente eficaz para problemas que involucran transporte y propagación de ondas.

El Nullstellensatz de Hilbert (en alemán, "teorema de los ceros") establece una correspondencia fundamental entre geometría y álgebra. Afirma que para un campo algebraicamente cerrado [latex]k[/latex], si un polinomio [latex]p[/latex] desaparece en el conjunto cero de un ideal [latex]I[/latex], entonces alguna potencia de [latex]p[/latex] debe pertenecer a [latex]I[/latex]. Formalmente, [latex]I(V(I)) = \sqrt{I}[/latex], el radical de [latex]I[/latex].

La cohomología de gavilla es una herramienta central en la geometría algebraica moderna para estudiar las propiedades globales de los espacios geométricos. Para una gavilla [latex]\mathcal{F}[/latex] en un espacio [latex]X[/latex], los grupos de cohomología [latex]H^i(X, \mathcal{F})[/latex] son espacios vectoriales cuyas dimensiones proporcionan invariantes importantes. El grupo [latex]H^0[/latex] representa secciones globales, mientras que los grupos superiores [latex]H^i[/latex] para [latex]i > 0[/latex] miden los obstáculos para unir secciones locales en una global.

El teorema de Bézout es un enunciado fundamental de la teoría de intersecciones. Afirma que el número de puntos de intersección de dos curvas algebraicas planas de grados [latex]m[/latex] y [latex]n[/latex] es exactamente [latex]mn[/latex], siempre que se trabaje en un plano proyectivo sobre un campo algebraicamente cerrado, se cuenten los puntos con multiplicidad y se incluyan los puntos en el infinito donde se encuentran las asíntotas paralelas.

Teorema fundamental de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales parciales asociadas con problemas de valor inicial de Cauchy. Establece que si la EDP y las condiciones iniciales son analíticas (pueden representarse mediante series de potencias convergentes), entonces existe una solución analítica única en un entorno de la superficie inicial. Proporciona una garantía de existencia local, pero no aborda el comportamiento global ni el planteamiento correcto.

Una variedad afín es el conjunto de puntos de un espacio afín cuyas coordenadas son los ceros comunes de un conjunto finito de polinomios. Para un conjunto de polinomios [latex]S = \{f_1, \dots, f_k\}[/latex] en un anillo de polinomios [latex]k[x_1, \dots, x_n][/latex], la variedad afín correspondiente es [latex]V(S) = \{x \in k^n | f(x) = 0 \text{ for all } f \in S\}[/latex]. Es un objeto central de estudio en la geometría algebraica clásica.