Riemannsche Geometrie

Das Theorema Egregium (lateinisch für "bemerkenswerter Satz") besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet, dass sie nur davon abhängt, wie Abstände auf der Oberfläche selbst gemessen werden, und nicht davon, wie die Oberfläche in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Ein flaches Blatt Papier kann zu einem Zylinder gerollt werden, aber nicht zu einer Kugel, ohne es zu dehnen.

Das Gauß-Bonnet-Theorem verbindet die Geometrie einer kompakten zweidimensionalen Oberfläche mit ihrer Topologie. Er besagt, dass das Integral der Gaußschen Krümmung [latex]K[/latex] über die gesamte Fläche [latex]M[/latex] gleich [latex]2\pi[/latex] mal der Euler-Charakteristik [latex]\chi(M)[/latex] der Fläche ist. Die Formel lautet [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

Genauigkeit bezieht sich auf die Nähe eines gemessenen Wertes zu einem Standard oder einem bekannten wahren Wert. Präzision bezieht sich darauf, wie nahe zwei oder mehr Messungen beieinander liegen. Ein Messsystem kann präzise, aber nicht genau, genau, aber nicht genau, weder noch oder beides sein. Diese beiden Begriffe sind in der Messtheorie unabhängig voneinander.

Ein Homöomorphismus ist eine stetige Funktion zwischen zwei topologischen Räumen, die eine stetige Umkehrfunktion hat. Zwei topologische Räume werden als homöomorph bezeichnet, wenn eine solche Funktion existiert. Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch. Hinter diesem Begriff verbirgt sich die Vorstellung, dass ein Objekt in ein anderes gestreckt, gebogen oder verformt werden kann, ohne zu zerreißen oder zu verkleben, wie ein Kaffeebecher in einen Donut.

A statistic indicating the goodness of fit of a model, representing the proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s). An R² of 1 indicates a perfect fit, while 0 indicates no linear relationship. It is calculated as [latex]R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex], where [latex]SS_{res}[/latex] is the residual sum of squares.

Ein topologischer Raum ist ein geordnetes Paar [latex](X, \tau)[/latex], wobei [latex]X[/latex] eine Menge und [latex]\tau[/latex] eine Sammlung von Teilmengen von [latex]X[/latex], so genannte offene Mengen, ist, die drei Axiome erfüllen: 1) Die leere Menge [latex]\emptyset[/latex] und [latex]X[/latex] selbst sind in [latex]\tau[/latex]. 2) Die Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen in [latex]\tau[/latex] ist auch in [latex]\tau[/latex]. 3) Die Schnittmenge einer beliebigen endlichen Anzahl von Mengen in [latex]\tau[/latex] ist auch in [latex]\tau[/latex].

Eine grundlegende lineare parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Wärmeverteilung oder andere Diffusionsprozesse beschreibt. Ihre kanonische Form lautet [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Temperatur, [latex]t[/latex] die Zeit und [latex]\alpha[/latex] die Temperaturleitfähigkeit ist. Die Lösungen modellieren, wie sich eine anfängliche Temperaturverteilung entwickelt, indem sie Unregelmäßigkeiten im Laufe der Zeit ausgleichen und sich einem stabilen Zustand annähern.

Eine fundamentale Lösung eines linearen partiellen Differentialoperators [latex]L[/latex] ist eine Lösung der Gleichung [latex]Lu = delta(x)[/latex], wobei [latex]delta(x)[/latex] die Dirac-Delta-Funktion ist. Sie stellt die Reaktion des Systems auf eine Punktquelle oder einen Impuls dar. Ist die Lösung der inhomogenen Gleichung [latex]Lu = f(x)[/latex] bekannt, kann sie durch Faltung gefunden werden: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], wobei [latex]G[/latex] die Grundlösung ist.

Die Gesetze von De Morgan sind zwei Transformationsregeln der Booleschen Algebra, die für die Entwicklung digitaler Schaltungen von grundlegender Bedeutung sind. Das erste Gesetz besagt, dass die Negation einer Konjunktion die Disjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. Die zweite besagt, dass die Negation einer Disjunktion die Konjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum lokal ähnlich ist und die Anwendung der Infinitesimalrechnung ermöglicht. Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von [latex]\mathbb{R}^n[/latex] ist. Diese lokalen Koordinatensysteme, Diagramme genannt, sind durch glatte Übergangsfunktionen miteinander verbunden und bilden einen Atlas, der die differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit definiert.

Die digitale Elektronik basiert auf der Booleschen Algebra, einem von George Boole eingeführten mathematischen System der Logik. Sie verwendet zwei Werte, in der Regel 0 und 1 (oder falsch und wahr), und drei Grundoperationen: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion) und NICHT (Negation). Diese Operationen entsprechen direkt den Logikgattern, die die Bausteine aller digitalen Schaltungen bilden.

The Prime Number Theorem describes the asymptotic distribution of prime numbers among the integers. It states that the prime-counting function [latex]\pi(x)[/latex], which gives the number of primes less than or equal to [latex]x[/latex], is asymptotically equivalent to [latex]x / \ln(x)[/latex]. Formally, [latex]\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. This provides a fundamental link between primes and the natural logarithm.

Dieses Theorem besagt, dass es für jede stetige Funktion [latex]f[/latex], die eine kompakte konvexe Menge auf sich selbst abbildet, einen Punkt [latex]x_0[/latex] gibt, für den gilt: [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Diesen Punkt nennt man einen Fixpunkt. Nimmt man eine Landkarte eines Landes, zerknüllt sie und platziert sie innerhalb der Landesgrenzen, so gibt es immer mindestens einen Punkt auf der Karte, der direkt über dem entsprechenden realen Punkt liegt.

Analysis of Variance (ANOVA) is a statistical method that partitions the total observed variability in a data set into components attributable to different sources. The core idea is to compare the variance between the means of different groups to the variance within those groups. If the between-group variance is significantly larger, it suggests the group means are genuinely different.