نظرية بروير ذات النقطة الثابتة

التشاكل الموضعي هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين، ولها دالة عكسية متصلة. يُطلق على فضاءين طوبولوجيين اسم "متماثلين موضعيًا" إذا وُجدت مثل هذه الدالة. من وجهة نظر طوبولوجية، الفضاءات المتماثلة موضعيًا متطابقة. يُجسد هذا المفهوم فكرة إمكانية تحويل جسم ما إلى جسم آخر دون تمزيقه أو لصقه، كما هو الحال عند تحويل كوب قهوة إلى كعكة دونات.

تصف ظاهرة جيبس ​​سلوك متسلسلة فورييه عند انقطاع قفزي. تُظهر المجاميع الجزئية للمتسلسلة تجاوزًا قرب القفزة، والذي لا يختفي بإضافة المزيد من الحدود. يتقارب هذا التجاوز إلى قيمة ثابتة تبلغ حوالي 9% من ارتفاع القفزة، بغض النظر عن عدد الحدود في المتسلسلة.

تنص هذه النظرية على أنه في نموذج الانحدار الخطي، حيث يكون متوسط ​​الأخطاء صفرًا، وغير مترابطة، وذات تباين ثابت (تجانس التباين)، يكون مُقدّر المربعات الصغرى العادية (OLS) هو أفضل مُقدّر خطي غير متحيز (BLUE). ويعني "الأفضل" أنه يمتلك أدنى تباين بين جميع المُقدّرين الخطيين غير المتحيزين لمعاملات الانحدار، مما يجعله الأكثر دقة.

نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل، واختصارها ZFC (مع مُسلّمة الاختيار)، هي النظام البديهي القياسي في الرياضيات المعاصرة. تتكون من مجموعة من البديهيات، المُعبّر عنها بمنطق الرتبة الأولى، والتي تُصوغ خصائص المجموعات. يُمكن صياغة وإثبات جميع النظريات الرياضية المُستخدمة حاليًا تقريبًا باستخدام ZFC.

تحليل التباين (ANOVA) هو أسلوب إحصائي يُقسّم إجمالي التباين المُلاحظ في مجموعة بيانات إلى مكونات تُعزى إلى مصادر مختلفة. الفكرة الأساسية هي مقارنة التباين بين متوسطات المجموعات المختلفة بالتباين داخلها. إذا كان التباين بين المجموعات أكبر بكثير، فهذا يُشير إلى اختلاف حقيقي في متوسطات المجموعات.

إن شرط كورانت-فريدريكس-ليوي (CFL) هو معيار استقرار ضروري للحلول العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية باستخدام مخططات التكامل الزمني الصريحة. وينص هذا الشرط على أن حجم الخطوة الزمنية يجب أن يكون صغيرًا بما يكفي بحيث لا تنتقل المعلومات أكثر من خلية شبكة مكانية واحدة لكل خطوة زمنية. بالنسبة لحالة 1D، [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex]، مما يضمن الاستقرار العددي.

في الجبر الخطي، تنص نظرية الرتبة واللاشيء على أنه بالنسبة لأي خريطة خطية [latex]T: V \to W[/latex] بين الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة، فإن بُعد مجالها [latex]V[/latex] هو مجموع رتبتها (بُعد صورتها) ولاشيئها (بُعد نواةها). الصيغة هي [latex]\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)[/latex].

تصف نظرية الأعداد الأولية التوزيع التقريبي للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة. وهي تنصّ على أن دالة عد الأعداد الأولية [latex]\pi(x)[/latex]، التي تعطي عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي [latex]x[/latex]، تكافئ تقريبيًا [latex]x / \ln(x)[/latex]. بشكل رسمي، [latex]\lim_{x \ إلى \ntfty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. وهذا يوفر رابطًا أساسيًا بين الأعداد الأولية واللوغاريتم الطبيعي.

إحصائية تشير إلى مدى ملاءمة النموذج، وتمثل نسبة التباين في المتغير التابع التي يمكن التنبؤ بها من المتغير المستقل (المتغيرات المستقلة). يشير الرمز R² الذي يساوي 1 إلى ملاءمة تامة، بينما يشير 0 إلى عدم وجود علاقة خطية. يتم حسابه على الصورة [latex]R ^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex]، حيث [latex]SS_S{res}[/latex] هو مجموع المربعات المتبقية.

يُعمّق مؤشر فريدهولم نظرية الترتيب واللاشيء إلى الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية مثل فضاءات باناخ. بالنسبة لمشغل فريدهولم [latex]T: X \to Y[/latex]، يتم تعريف مؤشره على أنه [latex]\text{ind}(T) = \dim(\ker(T)) - \dim(\text{coker}(T))[/latex]، حيث يقيس بُعد كوكيرنيل مدى بعد الصورة عن الفضاء بأكمله. هذا المؤشر هو قيمة عددية ثابتة في ظل اضطرابات صغيرة للمشغل.

الفضاء الطوبولوجي هو زوج مرتب [latex](X، \tau)[/latex]، حيث [latex]X[/latex] مجموعة و[latex]\tau[/latex] مجموعة من المجموعات الجزئية لـ [latex]X[/latex]، تسمى مجموعات مفتوحة، تحقق ثلاث بديهيات: 1) المجموعة الفارغة [latex]\emptyset[/latex] و[latex]X[/latex] نفسها في [latex]\tau[/latex]. 2) إن اتحاد أي عدد من المجموعات في [latex]\Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\Tau[/latex]. 3) تقاطع أي عدد منتهٍ من المجموعات في [latex]\tau1Tau[/latex] يقع أيضًا في [latex]\tau[/latex].

أداة بيانية تُستخدم في مراقبة العمليات الإحصائية (SPC) لرصد متغيرات العملية بمرور الوقت. ترسم هذه الأداة نقاط البيانات بين خط مركزي (CL)، يُمثل متوسط ​​العملية، وحدود تحكم عليا (UCL) وسفلى (LCL). تُحدد هذه الحدود عادةً عند ثلاثة انحرافات معيارية عن المتوسط ​​(μ ± 3σ)، مما يُحدد نطاق التباين المتوقع الناتج عن الأسباب المشتركة.

تُستخدم الطريقة الأحادية الاتجاه ANOVA لتحديد ما إذا كانت هناك أي اختلافات ذات دلالة إحصائية بين متوسطات ثلاث مجموعات مستقلة أو أكثر. وهو يحلل تأثير متغير مستقل فئوي واحد، يُعرف باسم العامل، على متغير تابع متصل. تنص الفرضية الفارغة على أن جميع متوسطات المجموعات متساوية، [latex]H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_k[/latex].