قوانين دي مورغان

تقوم متسلسلة فورييه بتحليل أي دالة أو إشارة دورية إلى مجموع دوال تذبذبية بسيطة، وهي الدوال الجيبية والكوسينية. بالنسبة للدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex]، تكون السلسلة كما يلي [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. المصطلحات [latex]a_n[/latex] و [latex]b_n[/latex] هي معاملات فورييه.

تنص نظرية إيجيريوم (وتعني باللاتينية "النظرية الرائعة") على أن الانحناء الغاوسي للسطح خاصية جوهرية. وهذا يعني أنه يعتمد فقط على كيفية قياس المسافات على السطح نفسه، وليس على كيفية تضمين السطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمكن لف ورقة مسطحة على شكل أسطوانة ولكن ليس على شكل كرة دون أن تتمدد.

لكي تتقارب متسلسلة فورييه مع قيمة الدالة، يجب أن تُلبي الدالة شروط ديريشليت خلال فترة واحدة. وهذه الشروط هي: (1) أن تكون الدالة قابلة للتكامل المطلق، (2) أن يكون لها عدد محدود من القيم القصوى والدنيا، و(3) أن يكون لها عدد محدود من نقاط الانقطاع المحدودة.

المتشعّب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًّا للفضاء الإقليديان، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. كل نقطة لها جوار متجانس مع مجموعة فرعية مفتوحة من [latex]\mathbbb{R}^n[/latex]. وترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، التي تُسمَّى المخططات بدوال انتقالية سلسة، لتُشكِّل أطلسًا يُحدِّد البنية القابلة للاشتقاق للمتشعب.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر البولياني، وهو نظام منطقي رياضي وضعه جورج بول. يستخدم هذا النظام قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: "و" (الربط)، و"أو" (الفصل)، و"ليس" (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرةً مع البوابات المنطقية التي تُشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

التشاكل الموضعي هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين، ولها دالة عكسية متصلة. يُطلق على فضاءين طوبولوجيين اسم "متماثلين موضعيًا" إذا وُجدت مثل هذه الدالة. من وجهة نظر طوبولوجية، الفضاءات المتماثلة موضعيًا متطابقة. يُجسد هذا المفهوم فكرة إمكانية تحويل جسم ما إلى جسم آخر دون تمزيقه أو لصقه، كما هو الحال عند تحويل كوب قهوة إلى كعكة دونات.

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه لدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex] باستخدام صيغ التكامل. المكون DC هو [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. معاملات جيب التمام هي [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex]، ومعاملات الجيب هي [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) ، dx[/latex] لـ [latex]n ge 1[/latex].

الحل الأساسي للمشغل التفاضلي الجزئي الخطي [latex]L[/latex] هو حل للمعادلة [latex]Lu = دلتا(س)[/latex]، حيث [latex]Delta(س)[/latex] هي دالة دلتا ديراك. وهي تمثّل استجابة النظام لمصدر نقطي أو دافع. بمجرد معرفتها، يمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة [latex]Lu = f(x)[/latex] عن طريق الالتفاف: [latex]Tu(x) = (G * f)(x) [/latex]، حيث [latex]G[/latex] هو الحل الأساسي.

تربط نظرية غاوس-بونيه بين هندسة سطح مضغوط ثنائي الأبعاد وطوبولوجيته. وهي تنص على أن تكامل تكامل انحناء غاوس [latex]K[/latex] على السطح بأكمله [latex]M[/latex] يساوي [latex]2\pi[/latex] مضروبًا في خاصية أويلر [latex]\chi(M)[/latex] للسطح. والمعادلة هي [latex]\Tint_M K \، dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

تشير الدقة إلى مدى قرب القيمة المقاسة من قيمة معيارية أو قيمة حقيقية معروفة. أما الضبط فيشير إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر. قد يكون نظام القياس دقيقًا ولكنه غير دقيق، أو دقيقًا ولكنه غير مضبوط، أو كليهما، أو لا هذا ولا ذاك. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما في نظرية القياس.

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.

في الجبر الخطي، تنص نظرية الرتبة واللاشيء على أنه بالنسبة لأي خريطة خطية [latex]T: V \to W[/latex] بين الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة، فإن بُعد مجالها [latex]V[/latex] هو مجموع رتبتها (بُعد صورتها) ولاشيئها (بُعد نواةها). الصيغة هي [latex]\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)[/latex].

تصف نظرية الأعداد الأولية التوزيع التقريبي للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة. وهي تنصّ على أن دالة عد الأعداد الأولية [latex]\pi(x)[/latex]، التي تعطي عدد الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي [latex]x[/latex]، تكافئ تقريبيًا [latex]x / \ln(x)[/latex]. بشكل رسمي، [latex]\lim_{x \ إلى \ntfty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1[/latex]. وهذا يوفر رابطًا أساسيًا بين الأعداد الأولية واللوغاريتم الطبيعي.