كشف (تقريبًا) عن خوارزمية جوجل السرية

لكي تتقارب متسلسلة فورييه مع قيمة الدالة، يجب أن تُلبي الدالة شروط ديريشليت خلال فترة واحدة. وهذه الشروط هي: (1) أن تكون الدالة قابلة للتكامل المطلق، (2) أن يكون لها عدد محدود من القيم القصوى والدنيا، و(3) أن يكون لها عدد محدود من نقاط الانقطاع المحدودة.

قوانين دي مورغان هي زوج من قواعد التحويل في الجبر البولياني، وهي أساسية لتصميم الدوائر الرقمية. ينص القانون الأول على أن نفي العطف هو فصل النفيين: \(\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)\). ينص القانون الثاني على أن نفي العطف هو فصل النفيين: \(\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)\).

متعدد الشعب القابل للاشتقاق هو فضاء طوبولوجي مشابه محليًا للفضاء الإقليدي، مما يسمح بتطبيق التفاضل والتكامل. لكل نقطة جوار متماثل لمجموعة فرعية مفتوحة من \(\mathbb{R}^n\). ترتبط أنظمة الإحداثيات المحلية هذه، والتي تُسمى المخططات، بدوال انتقال سلسة، لتشكل أطلسًا يُحدد بنية متعدد الشعب القابلة للاشتقاق.

تعتمد الإلكترونيات الرقمية على الجبر البولياني، وهو نظام منطقي رياضي وضعه جورج بول. يستخدم هذا النظام قيمتين، عادةً 0 و1 (أو خطأ وصواب)، وثلاث عمليات أساسية: "و" (الربط)، و"أو" (الفصل)، و"ليس" (النفي). تتوافق هذه العمليات مباشرةً مع البوابات المنطقية التي تُشكل اللبنات الأساسية لجميع الدوائر الرقمية.

التشاكل الموضعي هو دالة متصلة بين فضاءين طوبولوجيين، ولها دالة عكسية متصلة. يُطلق على فضاءين طوبولوجيين اسم "متماثلين موضعيًا" إذا وُجدت مثل هذه الدالة. من وجهة نظر طوبولوجية، الفضاءات المتماثلة موضعيًا متطابقة. يُجسد هذا المفهوم فكرة إمكانية تحويل جسم ما إلى جسم آخر دون تمزيقه أو لصقه، كما هو الحال عند تحويل كوب قهوة إلى كعكة دونات.

تصف ظاهرة جيبس ​​سلوك متسلسلة فورييه عند انقطاع قفزي. تُظهر المجاميع الجزئية للمتسلسلة تجاوزًا قرب القفزة، والذي لا يختفي بإضافة المزيد من الحدود. يتقارب هذا التجاوز إلى قيمة ثابتة تبلغ حوالي 9% من ارتفاع القفزة، بغض النظر عن عدد الحدود في المتسلسلة.

تنص هذه النظرية على أنه في نموذج الانحدار الخطي، حيث يكون متوسط ​​الأخطاء صفرًا، وغير مترابطة، وذات تباين ثابت (تجانس التباين)، يكون مُقدّر المربعات الصغرى العادية (OLS) هو أفضل مُقدّر خطي غير متحيز (BLUE). ويعني "الأفضل" أنه يمتلك أدنى تباين بين جميع المُقدّرين الخطيين غير المتحيزين لمعاملات الانحدار، مما يجعله الأكثر دقة.

الحل الأساسي لمؤثر تفاضلي جزئي خطي \(L\) هو حل للمعادلة \(Lu = delta(x)\)، حيث \(delta(x)\) هي دالة ديراك دلتا. يُمثل هذا الحل استجابة النظام لمصدر نقطي أو نبضة. بمجرد معرفة الحل، يُمكن إيجاد حل المعادلة غير المتجانسة \(Lu = f(x)\) عن طريق الالتفاف: \(u(x) = (G * f)(x)\)، حيث \(G\) هو الحل الأساسي.

تربط نظرية غاوس-بونيه هندسة سطح ثنائي الأبعاد مضغوط بطوبولوجيته. وتنص على أن تكامل انحناء غاوس \(K\) على كامل السطح \(M\) يساوي \(2\pi\) مضروبًا في خاصية أويلر \(\chi(M)\) للسطح. والصيغة هي: \(\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)\).

تشير الدقة إلى مدى قرب القيمة المقاسة من قيمة معيارية أو قيمة حقيقية معروفة. أما الضبط فيشير إلى مدى تقارب قياسين أو أكثر. قد يكون نظام القياس دقيقًا ولكنه غير دقيق، أو دقيقًا ولكنه غير مضبوط، أو كليهما، أو لا هذا ولا ذاك. هذان المفهومان مستقلان عن بعضهما في نظرية القياس.

الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس المتشعبات الريمانية، وهي متشعبات ملساء مزودة بمقياس ريمان. هذا المقياس هو مجموعة من الضربات الداخلية في الفضاءات المماسّة، تتغير بسلاسة من نقطة إلى أخرى. يسمح هذا بتعريف مفاهيم هندسية محلية مثل الزاوية، وطول المنحنيات، ومساحة السطح، والحجم، مما يؤدي إلى مفهوم عام للانحناء.

في الجبر الخطي، تنص نظرية الرتبة-العدمية على أنه لأي تمثيل خطي (T: V إلى W) بين فضاءات متجهات محدودة الأبعاد، يكون بُعد مجاله (V) هو مجموع رتبته (بُعد صورته) وعدمه (بُعد نواته). الصيغة هي (dim(V) = rank(T) + nullity(T)).

تصف نظرية الأعداد الأولية التوزيع المقارب للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة. وتنص على أن دالة عد الأعداد الأولية \(\pi(x)\)، التي تعطي عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو يساوي \(x\)، مكافئة تقريبيًا لـ \(x / \ln(x)\). نظريًا، \(\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)} = 1\). يوفر هذا رابطًا أساسيًا بين الأعداد الأولية واللوغاريتم الطبيعي.

إحصائية تُشير إلى مدى ملاءمة النموذج، وتُمثل نسبة التباين في المتغير التابع الذي يُمكن التنبؤ به من المتغير أو المتغيرات المستقلة. يشير معامل R² الذي يساوي 1 إلى مطابقة تامة، بينما يشير 0 إلى عدم وجود علاقة خطية. يُحسب بالمعادلة: \(R^2 \equiv 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}\)، حيث \(SS_{res}\) هو مجموع المربعات المتبقية.

يُعمم مؤشر فريدهولم نظرية الرتبة-العدمية على فضاءات لا نهائية الأبعاد مثل فضاءات باناخ. بالنسبة لمُعامل فريدهولم (T: X to Y)، يُعرّف مؤشره بأنه (ind(T) = dim(ker(T)) - dim(coker(T)))، حيث يقيس بُعد كوكرنال بُعد الصورة عن الفضاء الكامل. هذا المؤشر هو قيمة عددية صحيحة مستقرة تحت اضطرابات طفيفة للمُعامل.